Use a derivação logarítmica para a achar a derivada da função.
y = raiz(x) * e^(y^2 - x) * (x + 1)^(2 / 3)

Passo 1

Então, temos a função e queremos encontrar a derivada de em relação a usando a derivação logarítmica. Para isso, vamos precisar entender como os logaritmos podem ajudar a simplificar a diferenciação de funções complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação para facilitar a diferenciação:

Passo 3

Usando a propriedade dos logaritmos que diz que o logaritmo de um produto é a soma dos logaritmos, podemos separar os termos:

Passo 4

Agora, vamos simplificar cada termo individualmente:
  • (porque )
  • (já que o logaritmo de uma exponencial com a mesma base é o expoente)
  • (usando a propriedade do logaritmo de uma potência)
Então, a equação fica:

Passo 5

Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que é uma função de , então usaremos a regra da cadeia quando necessário:
Derivando termo a termo:

Passo 6

Vamos reorganizar a equação para isolar os termos que contêm :

Passo 7

Fatoramos no lado esquerdo da equação:

Passo 8

Finalmente, resolvemos para dividindo ambos os lados pelo fator que multiplicava :

Resposta

A derivada da função é:

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