Use a derivação logarítmica para a achar a derivada da função.
Passo 1
Então, temos a função
e queremos encontrar a derivada de
em relação a
usando a derivação logarítmica. Para isso, vamos precisar entender como os logaritmos podem ajudar a simplificar a diferenciação de funções complicadas.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação para facilitar a diferenciação:
Passo 3
Usando a propriedade dos logaritmos que diz que o logaritmo de um produto é a soma dos logaritmos, podemos separar os termos:
Passo 4
Agora, vamos simplificar cada termo individualmente:
-
(porque ) -
(já que o logaritmo de uma exponencial com a mesma base é o expoente) -
(usando a propriedade do logaritmo de uma potência)
Então, a equação fica:
Passo 5
Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
, então usaremos a regra da cadeia quando necessário:
Derivando termo a termo:
Passo 6
Vamos reorganizar a equação para isolar os termos que contêm
:
Passo 7
Fatoramos
no lado esquerdo da equação:
Passo 8
Finalmente, resolvemos para
dividindo ambos os lados pelo fator que multiplicava
:
Resposta
A derivada da função é: