Use a derivação logarítmica para a achar a derivada da função.
y = raiz(x) * e^(y^2 - x) * (x + 1)^(2 / 3)

Passo 1

O exercício pede para encontrar a derivada da função usando derivação logarítmica. Vamos usar a derivação logarítmica, que é uma técnica útil para derivar funções complicadas, especialmente quando as variáveis estão multiplicadas ou elevadas a potências. Para isso, vamos precisar conhecer regras básicas de derivação, propriedades dos logaritmos e aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação para simplificar a multiplicação e as potências:

Passo 3

Usando as propriedades dos logaritmos, podemos separar os termos:

Passo 4

Simplificamos cada termo:
  • (porque )
Então, a equação fica:

Passo 5

Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a . Lembre-se que é uma função de , então usaremos a regra da cadeia onde necessário:

Passo 6

Derivando cada termo:
  • (usando a regra da cadeia)
Substituindo na equação:

Passo 7

Vamos isolar . Primeiro, movemos os termos que não contêm para o lado direito:

Passo 8

Fatoramos no lado esquerdo:

Passo 9

Resolvemos para :

Resposta

A derivada da função é:

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Resolver os exercícios 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 do livro de Cálculo volume 1, 6a edição de James Stewart da seção 3.2, página 172 e 173. Derive:
(5) y = e^x / x^2