Use a derivação logarítmica para determinar
:
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, que é representada por
. A técnica que vamos usar aqui é a derivação logarítmica, que é muito útil quando temos funções que têm variáveis tanto na base quanto no expoente. Para isso, vamos precisar das propriedades dos logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados da equação:
Usando a propriedade dos logaritmos que diz que
, ficamos com:
Agora precisamos derivar os dois lados da equação em relação a
. Vamos usar a regra da cadeia do lado esquerdo e a regra do produto do lado direito.
Passo 3
Derivando o lado esquerdo:
Agora, vamos derivar o lado direito. Usando a regra do produto, temos:
Aqui, a derivada de
é
e a derivada de
é
, multiplicada por
que você já tinha. Assim, podemos simplificar:
Passo 4
Igualando as derivadas, temos:
Agora, para encontrar
, basta multiplicar ambos os lados por
:
Passo 5
Agora, lembrando que
, podemos substituir:
Resposta
Portanto, a derivada
é:
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Determine a derivada:
.
Determine a derivada:
.
Use a regra da cadeia para achar
.
.
Use a derivação logarítmica para determinar
:
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