Use a derivação logarítmica para determinar :
.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar a derivada de em relação a , que é representada por . A técnica que vamos usar aqui é a derivação logarítmica, que é muito útil quando temos funções que têm variáveis tanto na base quanto no expoente. Para isso, vamos precisar das propriedades dos logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados da equação:
Usando a propriedade dos logaritmos que diz que , ficamos com:
Agora precisamos derivar os dois lados da equação em relação a . Vamos usar a regra da cadeia do lado esquerdo e a regra do produto do lado direito.

Passo 3

Derivando o lado esquerdo:
Agora, vamos derivar o lado direito. Usando a regra do produto, temos:
Aqui, a derivada de é e a derivada de é , multiplicada por que você já tinha. Assim, podemos simplificar:

Passo 4

Igualando as derivadas, temos:
Agora, para encontrar , basta multiplicar ambos os lados por :

Passo 5

Agora, lembrando que , podemos substituir:

Resposta

Portanto, a derivada é:

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Determine a derivada:
.
Determine a derivada:
.
Use a regra da cadeia para achar .
.
Use a derivação logarítmica para determinar :
.