Use a diferença a_{n+1} - a_{n} para verificar se a sequência dada é estritamente crescente ou estritamente decrescente.
{n - n^2}_{n=1}^{+\infty}

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que usar a diferença pra descobrir se a sequência está sempre crescendo ou sempre diminuindo. Vamos precisar entender como calcular essa diferença e o que ela nos diz sobre a sequência.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da sequência. Aqui, cada termo é dado por . Nosso objetivo é encontrar , que vai nos mostrar como a sequência muda de um termo para o próximo.

Passo 3

Vamos calcular :
Agora, vamos expandir :
Então:
Agora, sabemos que . Então, a diferença é:

Passo 4

Agora que encontramos que , vamos analisar o sinal dessa expressão. Sabemos que começa em 1 e vai aumentando (n ≥ 1). Multiplicando 2 por sempre dá um número positivo, então será sempre negativo:

Passo 5

Como é sempre negativo, isso significa que cada termo da sequência é menor que o anterior. Ou seja, a sequência está sempre diminuindo.

Resposta

A sequência é estritamente decrescente.

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