Use diferenciação implícita para determinar :

Passo 1

Vamos lá! O exercício traz a equação e pede para a gente encontrar as derivadas parciais de em relação a e , ou seja, e . Para isso, vamos usar a diferenciação implícita, que é uma técnica para diferenciar equações onde as variáveis estão todas misturadas.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar a equação em relação a . Lembre-se que é uma função de e , então quando derivamos termos que envolvem , precisamos usar a regra da cadeia.
Derivando cada termo:
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é (já que é constante em relação a ).
  • A derivada de em relação a é .

Passo 3

Substituindo as derivadas na equação original:
Agora, vamos isolar :
Fatorando :
Então:

Passo 4

Agora, vamos diferenciar a mesma equação em relação a .
Derivando cada termo:
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .

Passo 5

Substituindo as derivadas na equação original:
Isolando :
Fatorando :
Então:

Resposta

As derivadas parciais são:
e

Exercícios relacionados

Utilize a regra da cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas. ; e quando e .
Utilize a regra da cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas. ; .
Utilize a regra da cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas. ; e
Use diferenciação implícita para determinar :