Use diferenciação implícita para determinar partial zpartial x e partial zpartial y : x y+y z=x z

Passo 1

Vamos lá! O exercício traz a equação e pede para a gente encontrar as derivadas parciais de em relação a e , ou seja, e . Para isso, vamos usar a diferenciação implícita, que é uma técnica para diferenciar equações onde as variáveis estão todas misturadas.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar a equação em relação a . Lembre-se que é uma função de e , então quando derivamos termos que envolvem , precisamos usar a regra da cadeia.
Derivando cada termo:
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é (já que é constante em relação a ).
  • A derivada de em relação a é .

Passo 3

Substituindo as derivadas na equação original:
y + y partial zpartial x = z + x partial zpartial x
Agora, vamos isolar y partial zpartial x - x partial zpartial x = z - y :
partial zpartial x (y - x) = z - y
Fatorando partial zpartial x = z - yy - x :
Então:

Passo 4

Agora, vamos diferenciar a mesma equação em relação a .
Derivando cada termo:
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .

Passo 5

Substituindo as derivadas na equação original:
x + z + y partial zpartial y = x partial zpartial y
Isolando y partial zpartial y - x partial zpartial y = -x - z :
partial zpartial y (y - x) = -x - z
Fatorando partial zpartial y = -x - zy - x :
Então:

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = z - yy - x
e
partial zpartial y = -x - zy - x

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