Use diferenciação implícita para determinar
:
Passo 1
Vamos lá! O exercício traz a equação
e pede para a gente encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
, ou seja,
e
. Para isso, vamos usar a diferenciação implícita, que é uma técnica para diferenciar equações onde as variáveis estão todas misturadas.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar a equação em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
e
, então quando derivamos termos que envolvem
, precisamos usar a regra da cadeia.
Derivando cada termo:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é (já que é constante em relação a ). - A derivada de
em relação a é .
Passo 3
Substituindo as derivadas na equação original:
Agora, vamos isolar
:
Fatorando
:
Então:
Passo 4
Agora, vamos diferenciar a mesma equação em relação a
.
Derivando cada termo:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é .
Passo 5
Substituindo as derivadas na equação original:
Isolando
:
Fatorando
:
Então:
Resposta
As derivadas parciais são:
e
Exercícios relacionados
Utilize a regra da cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
;
e
quando
e
.
Utilize a regra da cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
;
.
Utilize a regra da cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
;
e
Use diferenciação implícita para determinar
: