Utilize a regra da cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas. ; .

Passo 1

Ok, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função composta onde depende de , e , e cada uma dessas variáveis depende de , e . O objetivo é usar a regra da cadeia para encontrar as derivadas parciais de em relação a , e . Para isso, vamos precisar conhecer a regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever todas as funções que temos:

Passo 3

A regra da cadeia para derivadas parciais nos permite calcular , e considerando como depende de , e através das variáveis intermediárias , e .

Passo 4

Vamos calcular cada derivada parcial uma por uma começando por .
Primeiro, calculamos as derivadas parciais de em relação a , e :

Passo 5

Agora, precisamos das derivadas de , e em relação a :
ã

Passo 6

Aplicamos a regra da cadeia para :
Substituindo os valores:
Simplificando:

Passo 7

Repetimos o processo para .
Primeiro, derivadas de , e em relação a :
ã
Aplicando a regra da cadeia:
Substituindo:
Simplificando:

Passo 8

Por fim, calculamos .
Derivadas de , e em relação a :
ã
Aplicando a regra da cadeia:
Substituindo:
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais são:

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Utilize a regra da cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas. ; e quando e .
Use a regra da cadeia para determinar ou .
Utilize a regra da cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas. ; e quando e .
Use diferenciação implícita para determinar :