Utilize a regra da cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas. ; .
Passo 1
Ok, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função composta onde depende de , e , e cada uma dessas variáveis depende de , e . O objetivo é usar a regra da cadeia para encontrar as derivadas parciais de em relação a , e . Para isso, vamos precisar conhecer a regra da cadeia para funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever todas as funções que temos:
Passo 3
A regra da cadeia para derivadas parciais nos permite calcular , e considerando como depende de , e através das variáveis intermediárias , e .
Passo 4
Vamos calcular cada derivada parcial uma por uma começando por partial tpartial z = sec(x) cdot y .
Primeiro, calculamos as derivadas parciais de partial tpartial x = z cdot sec(x) tan(x) cdot y em relação a partial tpartial y = z cdot sec(x) , e :
Passo 5
Agora, precisamos das derivadas de partial zpartial u = w , partial xpartial u = v e partial ypartial u = 0 (pois y = v cdot w não depende de u) em relação a :
ã
Passo 6
Aplicamos a regra da cadeia para partial tpartial u = partial tpartial z cdot partial zpartial u + partial tpartial x cdot partial xpartial u + partial tpartial y cdot partial ypartial u :
partial tpartial u = (sec(x) cdot y) cdot w + (z cdot sec(x) tan(x) cdot y) cdot v + (z cdot sec(x)) cdot 0
Substituindo os valores:
partial tpartial u = w cdot y cdot sec(x) + v cdot z cdot y cdot sec(x) tan(x)
Simplificando:
Passo 7
Repetimos o processo para partial zpartial v = 0 (pois z = w cdot u não depende de v) .
Primeiro, derivadas de partial xpartial v = u , partial ypartial v = w e partial tpartial v = partial tpartial z cdot partial zpartial v + partial tpartial x cdot partial xpartial v + partial tpartial y cdot partial ypartial v em relação a partial tpartial v = (sec(x) cdot y) cdot 0 + (z cdot sec(x) tan(x) cdot y) cdot u + (z cdot sec(x)) cdot w :
partial tpartial v = u cdot z cdot y cdot sec(x) tan(x) + w cdot z cdot sec(x) ã
Aplicando a regra da cadeia:
Substituindo:
Simplificando:
Passo 8
Por fim, calculamos partial zpartial w = u .
Derivadas de partial xpartial w = 0 (pois x = u cdot v não depende de w) , partial ypartial w = v e partial tpartial w = partial tpartial z cdot partial zpartial w + partial tpartial x cdot partial xpartial w + partial tpartial y cdot partial ypartial w em relação a partial tpartial w = (sec(x) cdot y) cdot u + (z cdot sec(x) tan(x) cdot y) cdot 0 + (z cdot sec(x)) cdot v :
partial tpartial w = u cdot y cdot sec(x) + v cdot z cdot sec(x)
ã
Aplicando a regra da cadeia:
Substituindo:
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais são:
partial tpartial u = w cdot y cdot sec(x) + v cdot z cdot y cdot sec(x) tan(x)
partial tpartial v = u cdot z cdot y cdot sec(x) tan(x) + w cdot z cdot sec(x)
partial tpartial w = u cdot y cdot sec(x) + v cdot z cdot sec(x)