Utilize a regra da cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas. f(x, y)=x^2 y^2-x+2 y ; x=raizu ; y=u v^3; partial fpartial u e partial fpartial v quando u=1 e v=-2.

Passo 1

Então, temos uma função , onde e . O que precisamos fazer aqui é encontrar as derivadas parciais de em relação a e usando a regra da cadeia. Para isso, vamos precisar lembrar como aplicar a regra da cadeia em funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar como depende de e através de e . Portanto, para achar e , vamos precisar derivar em relação a e , e depois multiplicar pelas derivadas de e em relação a e .

Passo 3

Calculando as derivadas parciais de partial fpartial x = 2x y^2 - 1 :
partial fpartial y = 2x^2 y + 2

Passo 4

Agora, vamos achar as derivadas de x = raizu Rightarrow partial xpartial u = 12 u^-1/2 e y = u v^3 Rightarrow partial ypartial u = v^3 e partial ypartial v = 3u v^2 em relação a e :

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia para partial fpartial u = partial fpartial x cdot partial xpartial u + partial fpartial y cdot partial ypartial u :
partial fpartial u = (2x y^2 - 1) cdot 12 u^-1/2 + (2x^2 y + 2) cdot v^3
Substituindo as expressões que encontramos:

Passo 6

Da mesma forma, para partial fpartial v = partial fpartial x cdot partial xpartial v + partial fpartial y cdot partial ypartial v :
partial fpartial v = 0 + (2x^2 y + 2) cdot 3u v^2 = (2x^2 y + 2) cdot 3u v^2
Como não depende de , . Então:

Passo 7

Agora, vamos substituir x = raiz1 = 1 e y = 1 cdot (-2)^3 = 1 cdot (-8) = -8 nas expressões. Primeiro, encontramos e :

Passo 8

Substituindo partial fpartial u = (2 cdot 1 cdot (-8)^2 - 1) cdot 12 cdot 1^-1/2 + (2 cdot 1^2 cdot (-8) + 2) cdot (-2)^3 , = (2 cdot 1 cdot 64 - 1) cdot 12 + (2 cdot 1 cdot (-8) + 2) cdot (-8) , = (128 - 1) cdot 12 + (-16 + 2) cdot (-8) e = 127 cdot 12 + (-14) cdot (-8) na expressão de = 63.5 + 112 = 175.5 :
Calculando passo a passo:

Passo 9

Agora, para partial fpartial v = (2 cdot 1^2 cdot (-8) + 2) cdot 3 cdot 1 cdot (-2)^2 :
= (2 cdot 1 cdot (-8) + 2) cdot 3 cdot 1 cdot 4
Simplificando:
= (-16 + 2) cdot 12
= (-14) cdot 12 = -168

Resposta

e quando e .

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