Utilize a regra da cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas. varphi(x, y)=x^2 y-x y^3+2 ; ; x=r cos theta ; y=r sin theta; partial varphipartial r e partial varphipartial theta

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar as derivadas parciais de uma função varphi(x, y) em relação a r e theta usando a regra da cadeia. A função dada é varphi(x, y) = x^2 y - x y^3 + 2, e sabemos que x = r cos theta e y = r sin theta. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função varphi em termos de r e theta. Substituindo x e y nas expressões:
varphi(r, theta) = (r cos theta)^2 (r sin theta) - (r cos theta) (r sin theta)^3 + 2
Vamos simplificar cada termo:
varphi(r, theta) = r^2 cos^2 theta cdot r sin theta - r cos theta cdot r^3 sin^3 theta + 2
varphi(r, theta) = r^3 cos^2 theta sin theta - r^4 cos theta sin^3 theta + 2

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de varphi em relação a r, ou seja, partial varphipartial r. Para isso, derivamos cada termo da função em relação a r:
partial varphipartial r = partialpartial r (r^3 cos^2 theta sin theta) - partialpartial r (r^4 cos theta sin^3 theta) + partialpartial r (2)
Derivando termo a termo:
partial varphipartial r = 3r^2 cos^2 theta sin theta - 4r^3 cos theta sin^3 theta + 0
partial varphipartial r = 3r^2 cos^2 theta sin theta - 4r^3 cos theta sin^3 theta

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de varphi em relação a theta, ou seja, partial varphipartial theta. Para isso, derivamos cada termo da função em relação a theta:
partial varphipartial theta = partialpartial theta (r^3 cos^2 theta sin theta) - partialpartial theta (r^4 cos theta sin^3 theta) + partialpartial theta (2)
Derivando termo a termo, usando as regras de derivação de funções trigonométricas:
partial varphipartial theta = r^3 (2 cos theta (-sin theta) sin theta + cos^2 theta cos theta ) - r^4 (-sin theta sin^3 theta + cos theta cdot 3 sin^2 theta cos theta ) + 0
Simplificando:
partial varphipartial theta = r^3 ( -2 cos theta sin^2 theta + cos^3 theta ) - r^4 ( -sin^4 theta + 3 cos^2 theta sin^2 theta )
partial varphipartial theta = r^3 (-2 cos theta sin^2 theta + cos^3 theta) + r^4 (sin^4 theta - 3 cos^2 theta sin^2 theta)

Resposta

As derivadas parciais são:
partial varphipartial r = 3r^2 cos^2 theta sin theta - 4r^3 cos theta sin^3 theta
partial varphipartial theta = r^3 (-2 cos theta sin^2 theta + cos^3 theta) + r^4 (sin^4 theta - 3 cos^2 theta sin^2 theta)

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