Use a expansão em cofatores para calcular o determinante das matrizes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de determinantes usando a expansão em cofatores. A gente tem duas matrizes aqui, a que é uma matriz 3x3 e a que é uma matriz 4x4. Vou te mostrar como calcular o determinante de cada uma delas passo a passo, explicando cada parte para ficar bem claro.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na matriz A = -3 & 0 & 7 2 & 5 & 1 -1 & 0 & 5 . A matriz é:
O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a expansão em cofatores. Isso significa que vamos escolher uma linha ou coluna (geralmente a que tem mais zeros para simplificar) e aplicar a fórmula dos cofatores para encontrar o determinante.
Passo 3
Vamos escolher a segunda coluna da matriz det(A) = a1jC1j + a2jC2j + a3jC3j para expandir, porque ela tem um zero, o que simplifica os cálculos. A fórmula geral para a expansão em cofatores em uma coluna é:
onde é o elemento da matriz e é o cofator correspondente.
Passo 4
Para a segunda coluna ( det(A) = 0 cdot C12 + 5 cdot C22 + 0 cdot C32 = 5 cdot C22 ) da matriz , os elementos são , e . Então, o determinante fica:
Como os termos com zero somam zero, só precisamos calcular o cofator .
Passo 5
O cofator C22 = (-1)^2+2 cdot M22 = 1 cdot M22 é calculado da seguinte forma:
M22 = -3 & 7 -1 & 5
onde é o menor complementar, que é a matriz que sobra quando removemos a segunda linha e segunda coluna de :
Passo 6
Agora, calculamos o determinante de det(M22) = (-3)(5) - (-1)(7) = -15 + 7 = -8 :
Então, o cofator .
Passo 7
Voltando ao determinante de det(A) = 5 cdot (-8) = -40 :
Agora, vamos calcular o determinante da matriz .
Passo 8
A matriz B = 3 & 3 & 0 & 5 2 & 2 & 0 & -2 4 & 1 & -3 & 0 2 & 10 & 3 & 2 é uma matriz 4x4:
Para calcular o determinante de uma matriz 4x4, também usamos a expansão em cofatores, mas geralmente é mais fácil escolher uma linha ou coluna com mais zeros para simplificar os cálculos. Vamos observar a terceira coluna, que tem dois zeros.
Passo 9
Vamos expandir a terceira coluna ( det(B) = 0 cdot C13 + 0 cdot C23 + (-3) cdot C33 + 3 cdot C43 = -3 cdot C33 + 3 cdot C43 ) da matriz . Os elementos são , , , e . A fórmula fica:
Os termos com zero somam zero, então precisamos calcular e .
onde é a matriz que sobra quando removemos a terceira linha e terceira coluna de :
Agora, calculamos o determinante de .
Passo 11
Para calcular det(M33) = 3 cdot 2 & -2 10 & 2 - 3 cdot 2 & -2 2 & 2 + 5 cdot 2 & 2 2 & 10 , usamos a regra de Sarrus ou a expansão em cofatores para 3x3. Vou usar a expansão na primeira linha: