Use a expansão em cofatores para calcular o determinante das matrizes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de determinantes usando a expansão em cofatores. A gente tem duas matrizes aqui, a que é uma matriz 3x3 e a que é uma matriz 4x4. Vou te mostrar como calcular o determinante de cada uma delas passo a passo, explicando cada parte para ficar bem claro.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na matriz . A matriz é:
O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a expansão em cofatores. Isso significa que vamos escolher uma linha ou coluna (geralmente a que tem mais zeros para simplificar) e aplicar a fórmula dos cofatores para encontrar o determinante.
Passo 3
Vamos escolher a segunda coluna da matriz para expandir, porque ela tem um zero, o que simplifica os cálculos. A fórmula geral para a expansão em cofatores em uma coluna é:
onde é o elemento da matriz e é o cofator correspondente.
Passo 4
Para a segunda coluna () da matriz , os elementos são , e . Então, o determinante fica:
Como os termos com zero somam zero, só precisamos calcular o cofator .
Passo 5
O cofator é calculado da seguinte forma:
onde é o menor complementar, que é a matriz que sobra quando removemos a segunda linha e segunda coluna de :
Passo 6
Agora, calculamos o determinante de :
Então, o cofator .
Passo 7
Voltando ao determinante de :
Agora, vamos calcular o determinante da matriz .
Passo 8
A matriz é uma matriz 4x4:
Para calcular o determinante de uma matriz 4x4, também usamos a expansão em cofatores, mas geralmente é mais fácil escolher uma linha ou coluna com mais zeros para simplificar os cálculos. Vamos observar a terceira coluna, que tem dois zeros.
Passo 9
Vamos expandir a terceira coluna () da matriz . Os elementos são , , , e . A fórmula fica:
Os termos com zero somam zero, então precisamos calcular e .
Passo 10
Primeiro, calculamos o cofator :
onde é a matriz que sobra quando removemos a terceira linha e terceira coluna de :
Agora, calculamos o determinante de .
Passo 11
Para calcular , usamos a regra de Sarrus ou a expansão em cofatores para 3x3. Vou usar a expansão na primeira linha:
Calculando cada menor:
Então,
Portanto, .
Passo 12
Agora, calculamos o cofator :
onde é a matriz que sobra quando removemos a quarta linha e terceira coluna de :
Vamos calcular o determinante de .
Passo 13
Usando a expansão na primeira linha para :
Calculando cada menor:
Então,
Portanto, .
Passo 14
Voltando ao determinante de :
Resposta
O determinante da matriz é e o determinante da matriz é .