Verifique se os conjuntos são L.I. ou L.D.
E=P1 (polinômios de grau menor ou igual a 1 ) S=1+t, 3-t

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A questão pede para verificar se os conjuntos são Linearmente Independentes (L.I.) ou Linearmente Dependentes (L.D.). Estamos trabalhando no espaço , que são os polinômios de grau menor ou igual a 1. O conjunto que vamos analisar é . Para isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser linearmente independente ou dependente e aplicar isso aos polinômios dados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é Linearmente Independente (L.I.) e Linearmente Dependente (L.D.). Um conjunto de vetores (ou polinômios, no nosso caso) é Linearmente Independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se só acontece quando e .
Por outro lado, o conjunto é Linearmente Dependente se existir pelo menos uma combinação linear não trivial (com pelo menos um coeficiente diferente de zero) que resulta no vetor zero.

Passo 3

Vamos aplicar isso aos nossos polinômios. Primeiro, escrevemos a combinação linear:
a(1 + t) + b(3 - t) = 0
Isso significa:
a + at + 3b - bt = 0
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
(a + 3b) + (a - b)t = 0
Para que essa igualdade seja válida para todo a + 3b = 0 a - b = 0 , os coeficientes de e devem ser iguais a zero. Assim, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de a = b e b + 3b = 0 . Da segunda equação, temos:
4b = 0
Substituindo b = 0 na primeira equação:
E, como , também .

Passo 5

Encontramos que a única solução para o sistema é e . Isso significa que a única combinação linear que resulta no vetor zero é a trivial, onde todos os coeficientes são zero. Portanto, o conjunto é Linearmente Independente.

Resposta

O conjunto é Linearmente Independente no espaço .

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