Use a Fórmula 10.2.7 para mostrar que a área da superfície gerada pela rotação da curva polar
r=f(theta) a <= theta <= b
(onde f^prime é contínua e 0 <= a ) ao redor do eixo polar é
S=integrala^b 2 pi r sen theta raizr^2+(d rd theta)^2 d theta

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a área da superfície gerada ao girar a curva polar S = integrala^b 2 pi r sin(theta) raizr^2 + (drdtheta)^2 , dtheta no intervalo ao redor do eixo polar é dada por:
Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente sobre superfícies de revolução em coordenadas polares. Precisamos entender como calcular áreas de superfícies geradas pela rotação de curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula geral para a área de uma superfície de revolução. Se temos uma curva parametrizada e a giramos em torno de um eixo, a área da superfície gerada é calculada integrando pequenos anéis de área ao longo do intervalo de rotação.
No caso das coordenadas polares, a curva é dada por , e vamos rotacioná-la ao redor do eixo polar (que podemos pensar como o eixo x). Para isso, precisamos encontrar uma expressão que representa um pequeno pedaço da área da superfície gerada por um pequeno incremento em .

Passo 3

Vamos considerar um pequeno incremento ds = raizr^2 + (drdtheta)^2 , dtheta . A variação correspondente em é . O comprimento do arco da curva é dado por:
Esse representa o comprimento de um pequeno segmento da curva.

Passo 4

Agora, esse pequeno segmento dS = 2 pi (r sin(theta)) cdot ds = 2 pi r sin(theta) raizr^2 + (drdtheta)^2 , dtheta vai ser girado ao redor do eixo polar. Cada ponto desse segmento descreve um círculo com raio , pois é a projeção do raio na direção perpendicular ao eixo de rotação.
Então, a área gerada por esse pequeno segmento é a circunferência multiplicada pelo comprimento do arco:

Passo 5

Para encontrar a área total S = integrala^b 2 pi r sin(theta) raizr^2 + (drdtheta)^2 , dtheta , basta integrar de a :

Resposta

Portanto, mostramos que a área da superfície gerada pela rotação da curva polar S = integrala^b 2 pi r sin(theta) raizr^2 + (drdtheta)^2 , dtheta ao redor do eixo polar é:

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