Use a Fórmula 10.2.7 para mostrar que a área da superfície gerada pela rotação da curva polar
(onde
é contínua e
) ao redor do eixo polar é
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a área da superfície gerada ao girar a curva polar
no intervalo
ao redor do eixo polar é dada por:
Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente sobre superfícies de revolução em coordenadas polares. Precisamos entender como calcular áreas de superfícies geradas pela rotação de curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula geral para a área de uma superfície de revolução. Se temos uma curva parametrizada e a giramos em torno de um eixo, a área da superfície gerada é calculada integrando pequenos anéis de área ao longo do intervalo de rotação.
No caso das coordenadas polares, a curva é dada por
, e vamos rotacioná-la ao redor do eixo polar (que podemos pensar como o eixo x). Para isso, precisamos encontrar uma expressão que representa um pequeno pedaço da área da superfície gerada por um pequeno incremento em
.
Passo 3
Vamos considerar um pequeno incremento
. A variação correspondente em
é
. O comprimento do arco
da curva é dado por:
Esse
representa o comprimento de um pequeno segmento da curva.
Passo 4
Agora, esse pequeno segmento
vai ser girado ao redor do eixo polar. Cada ponto desse segmento descreve um círculo com raio
, pois
é a projeção do raio na direção perpendicular ao eixo de rotação.
Então, a área
gerada por esse pequeno segmento é a circunferência multiplicada pelo comprimento do arco:
Passo 5
Para encontrar a área total
, basta integrar
de
a
:
Resposta
Portanto, mostramos que a área da superfície gerada pela rotação da curva polar
ao redor do eixo polar é:
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