Use a fórmula da área dada pelo Teorema de Green (equação (13)) para encontrar as áreas das regiōes limitudas pelas curras nos axercicior
24. A curva (ver figura a seguir):

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para usarmos a fórmula da área fornecida pelo Teorema de Green para encontrar a área da região limitada pela curva dada na questão 24. Basicamente, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green para calcular a área usando uma parametrização da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar o que é o Teorema de Green. Esse teorema conecta uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que essa curva delimita. Para calcular a área dessa região, podemos usar a seguinte fórmula derivada do Teorema de Green:
Aqui, e são funções parametrizadas pela variável .

Passo 3

A curva dada é parametrizada por:
Isso significa que:
Agora, vamos encontrar as derivadas de e em relação a :

Passo 4

Substituindo essas expressões na fórmula da área pelo Teorema de Green, temos:
Vamos substituir , , e :
Simplificando dentro da integral:

Passo 5

Vamos separar a integral em duas partes:
Observamos que a função é ímpar e estamos integrando sobre um intervalo simétrico em torno de zero. Portanto, a segunda integral será zero:
Então, a área simplifica para:

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral de :
Aplicando os limites de integração:
Sabemos que , então:
Calculando :
Então:

Passo 7

Substituindo de volta na expressão da área:

Resposta

A área da região limitada pela curva é unidades de área.

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Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:
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