Use a fórmula da área dada pelo Teorema de Green (equação (13)) para encontrar as áreas das regiōes limitudas pelas curras nos axercicior
24. A curva
(ver figura a seguir):
24. A curva
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para usarmos a fórmula da área fornecida pelo Teorema de Green para encontrar a área da região limitada pela curva dada na questão 24. Basicamente, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green para calcular a área usando uma parametrização da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar o que é o Teorema de Green. Esse teorema conecta uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que essa curva delimita. Para calcular a área
dessa região, podemos usar a seguinte fórmula derivada do Teorema de Green:
Aqui,
e
são funções parametrizadas pela variável
.
Passo 3
A curva dada é parametrizada por:
Isso significa que:
Agora, vamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
:
Passo 4
Substituindo essas expressões na fórmula da área pelo Teorema de Green, temos:
Vamos substituir
,
,
e
:
Simplificando dentro da integral:
Passo 5
Vamos separar a integral em duas partes:
Observamos que a função
é ímpar e estamos integrando sobre um intervalo simétrico em torno de zero. Portanto, a segunda integral será zero:
Então, a área simplifica para:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral de
:
Aplicando os limites de integração:
Sabemos que
, então:
Calculando
:
Então:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão da área:
Resposta
A área da região limitada pela curva é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Use a fórmula da área dada pelo Teorema de Green (equação (13)) para encontrar as áreas das regiōes limitudas pelas curras nos axercicior
23. O astróide (Figura 5.30)
23. O astróide (Figura 5.30)
Use a fórmula da área dada pelo Teorema de Green (equação (13)) para encontrar as áreas das regiōes limitudas pelas curras nos axercicior
22. A elipse
22. A elipse
Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:
Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo: