Use o método de sua escolha para resolver as integrais seguintes:
10) integral x tan (2 x)^2 d x

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a integral . Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais, mais especificamente usando métodos como substituição ou integração por partes. Para resolver, vamos precisar entender as propriedades das funções trigonométricas e aplicar as regras de integração passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão tan^2(theta) = sec^2(theta) - 1 . Sabemos que existe uma identidade trigonométrica que diz:
tan^2(2x) = sec^2(2x) - 1
Aplicando isso ao nosso caso, temos:
integral x tan^2(2x) , dx = integral x (sec^2(2x) - 1) , dx
Então, a integral fica:

Passo 3

Vamos dividir essa integral em duas partes para facilitar:
integral x (sec^2(2x) - 1) , dx = integral x sec^2(2x) , dx - integral x , dx
A segunda integral, , é mais simples e vamos resolver depois. Vamos focar na primeira parte: .

Passo 4

Para resolver integral u , dv = uv - integral v , du , vamos usar o método de integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
u = x Rightarrow du = dx
Vamos escolher:
dv = sec^2(2x) , dx Rightarrow v = 12 tan(2x)
Aqui, para encontrar , integramos . A integral de é porque a derivada de é .

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral x sec^2(2x) , dx = u v - integral v , du = x cdot 12 tan(2x) - integral 12 tan(2x) , dx
Simplificando:
= x2 tan(2x) - 12 integral tan(2x) , dx

Passo 6

Vamos resolver a integral integral tan(kx) , dx = -1k ln|cos(kx)| + C . Sabemos que:
integral tan(2x) , dx = -12 ln|cos(2x)| + C
Aplicando isso, temos:
x2 tan(2x) - 12 ( -12 ln|cos(2x)| ) + C = x2 tan(2x) + 14 ln|cos(2x)| + C
Portanto:

Passo 7

Agora, voltamos à nossa integral original:
integral x tan^2(2x) , dx = integral x sec^2(2x) , dx - integral x , dx
Já resolvemos integral x , dx = x^22 + C e agora vamos resolver :

Passo 8

Juntando tudo, temos:
integral x tan^2(2x) , dx = ( x2 tan(2x) + 14 ln|cos(2x)| ) - x^22 + C

Resposta

A integral de integral x tan^2(2x) , dx = x2 tan(2x) + 14 ln|cos(2x)| - x^22 + C é:
Onde é a constante de integração.

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