Use a fórmula de integração por partes para calcular as integrais seguintes:
integral ln (x) d xraizx;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa resolver é a integral integral ln(x)raizx , dx usando a técnica de integração por partes. Isso faz parte do estudo de cálculo integral, mais especificamente do método de integração por partes, que é super útil quando a gente tem um produto de funções que podemos derivar e integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Aqui, a gente precisa decidir qual parte da nossa integral será u e qual será dv.

Passo 3

Vamos escolher:
  • u = ln(x) porque ao derivar, simplifica a função.
  • dv = 1raizx , dx porque dá para integrar facilmente.

Passo 4

Agora, vamos calcular du e v:
  • Derivando u, temos:
    du = 1x , dx
  • Integrando dv, obtemos:
    v = integral 1raizx , dx = 2raizx

Passo 5

Com esses valores, aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral ln(x)raizx , dx = u , v - integral v , du
Substituindo, fica:
ln(x) cdot 2raizx - integral 2raizx cdot 1x , dx

Passo 6

Vamos simplificar a segunda integral:
2raizx cdot 1x = 2 cdot raizxx = 2 cdot 1raizx = 2x^-1/2

Passo 7

Agora, integramos 2x^-1/2:
integral 2x^-1/2 , dx = 2 cdot x^1/21/2 = 4raizx

Passo 8

Voltando à expressão original:
integral ln(x)raizx , dx = 2raizx ln(x) - 4raizx + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral resulta em 2raizx, ln(x) - 4,raizx + C.

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