Use a fórmula de integração por partes para calcular as integrais seguintes:
integral x cos x d xsen(x)^2;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral usando a técnica de integração por partes. Para isso, vamos precisar entender a fórmula de integração por partes, que é uma ferramenta útil para integrar produtos de funções. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa integral que vão ser e na fórmula de integração por partes, que é .
Vamos escolher:
  • (essa é a parte que vai se simplificar quando derivarmos)
  • (essa é a parte que vamos integrar)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar e .
Derivando :
Integrando :
  • Para encontrar , vamos integrar .
  • Observamos que , então .
  • Mas melhor ainda, podemos usar uma substituição simples: seja , então .
  • Assim, a integral se torna .
  • Portanto, .

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que achamos:
  • integral x cos xsen^2 x dx = x (-1sen x) - integral (-1sen x) dx
  • = -xsen x + integral 1sen x dx
Então:
Simplificando:

Passo 5

Agora, precisamos calcular a integral .
Sabemos que , e a integral de integral csc x dx = ln |tan x2| + C é:
-xsen x + ln |tan x2| + C
Então, substituindo de volta:

Resposta

A integral é igual a:

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