Use a fórmula de integração por partes para calcular as integrais seguintes:
integral x arcsin x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando a técnica de integração por partes. Integração por partes é uma fórmula que ajuda a integrar produtos de duas funções. Para isso, precisamos identificar qual parte da integral será e qual será .

Passo 2

Primeiro, vamos escolher u = arcsin(x) e dv = x , dx . A ideia é escolher como a parte que fica mais simples ao derivar e como a parte que sabemos integrar. Aqui, vamos deixar:

Passo 3

Agora, precisamos calcular dudx = 1raiz1 - x^2 e du = 1raiz1 - x^2 , dx . Vamos derivar v = integral x , dx = x^22 para encontrar :
Então:
Em seguida, integramos para encontrar :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que obtivemos:
integral x arcsin(x) , dx = arcsin(x) cdot x^22 - integral x^22 cdot 1raiz1 - x^2 , dx

Passo 5

Vamos simplificar a integral restante:
integral x^22 raiz1 - x^2 , dx = 12 integral x^2raiz1 - x^2 , dx
Podemos reescrever 12 integral 1 - (1 - x^2)raiz1 - x^2 , dx = 12 integral 1raiz1 - x^2 , dx - 12 integral raiz1 - x^2 , dx como :

Passo 6

Agora, vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
Primeira integral:
12 integral 1raiz1 - x^2 , dx = 12 arcsin(x)
Segunda integral:
12 integral raiz1 - x^2 , dx
Essa integral é conhecida e seu resultado é:
12 ( x raiz1 - x^22 + 12 arcsin(x) )
Simplificando:
x raiz1 - x^24 + 14 arcsin(x)

Passo 7

Voltando à expressão original:
integral x arcsin(x) , dx = x^22 arcsin(x) - ( 12 arcsin(x) - ( x raiz1 - x^24 + 14 arcsin(x) ) )
Simplificando os termos:
x^22 arcsin(x) - 12 arcsin(x) + x raiz1 - x^24 + 14 arcsin(x)
Combinando os termos de x^22 arcsin(x) - 14 arcsin(x) + x raiz1 - x^24 :

Resposta

Portanto, a integral integral x arcsin(x) , dx = x^22 arcsin(x) - 14 arcsin(x) + x raiz1 - x^24 + C é:
onde é a constante de integração.

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