Use a fórmula de integração por partes para calcular as integrais seguintes:
integral ln (x+raiz1+x^2) d x;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral integral ln (x+raiz1+x^2) , dx usando a fórmula de integração por partes. Então, estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com integração por partes. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona essa técnica e escolher as partes certas da função para aplicar a fórmula.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Aqui, precisamos identificar qual parte da nossa integral será u = ln (x+raiz1+x^2) e qual será dv = dx . Uma boa escolha é deixar ser a função que se simplifica quando derivada, então vamos definir:
E, consequentemente,

Passo 3

Agora, vamos calcular du = ddx ln (x+raiz1+x^2) , dx = 1x+raiz1+x^2 cdot (1 + xraiz1+x^2) dx e du = 1 + xraiz1+x^2x+raiz1+x^2 dx = raiz1+x^2 + x(x+raiz1+x^2)raiz1+x^2 dx = 1raiz1+x^2 dx .
Primeiro, vamos derivar v = integral dv = integral dx = x :
Para derivar , usamos a regra da cadeia:
Simplificando:
Agora, integramos para encontrar :

Passo 4

Agora que temos integral u , dv = u cdot v - integral v , du , integral ln (x+raiz1+x^2) dx = ln (x+raiz1+x^2) cdot x - integral x cdot 1raiz1+x^2 dx , e , aplicamos a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral que sobrou:
integral xraiz1+x^2 dx
Fazendo uma substituição simples, deixe integral xraiz1+x^2 dx = 12 integral 1raizt dt = 12 cdot 2raizt + C = raiz1+x^2 + C , então , ou seja, .
Substituindo na integral:

Passo 6

Voltando à expressão anterior:
integral ln (x+raiz1+x^2) dx = x cdot ln (x+raiz1+x^2) - raiz1+x^2 + C

Resposta

Portanto, a integral é:
integral ln (x+raiz1+x^2) dx = x cdot ln (x+raiz1+x^2) - raiz1+x^2 + C

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