Use o método de sua escolha para resolver as integrais seguintes:
(o) integral raiza^2-x^2 d x

Passo 1

Tudo bem! A gente tem que resolver a integral integral raiza^2-x^2 , dx. Isso envolve calcular uma função com uma raiz quadrada que lembra a equação de um círculo. Para isso, vamos usar a substituição trigonométrica, que é uma técnica bacana para simplificar integrais com esse tipo de expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica para simplificar a raiz. Vamos definir:
x = a sin theta
Com isso, ao derivar ambos os lados, temos:
dx = a cos theta , dtheta

Passo 3

Agora, substituímos x e dx na integral original:
integral raiza^2 - (a sin theta)^2 cdot a cos theta , dtheta
Simplificando dentro da raiz:
raiza^2 - a^2 sin^2 theta = raiza^2(1 - sin^2 theta) = a cos theta

Passo 4

Substituindo de novo na integral, fica:
integral a cos theta cdot a cos theta , dtheta = a^2 integral cos^2 theta , dtheta
Agora, precisamos integrar cos^2 theta. Para isso, usamos uma identidade trig:

Passo 5

Sabemos que:
cos^2 theta = 1 + cos 2theta2
Então, a integral fica:
a^2 integral 1 + cos 2theta2 , dtheta = a^22 integral (1 + cos 2theta) , dtheta

Passo 6

Integrando termo a termo:
a^22 ( theta + sin 2theta2 ) + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Agora, vamos voltar para a variável original x. Lembrando que fizemos x = a sin theta, então:
theta = arcsin(xa)
E também:
sin 2theta = 2 sin theta cos theta = 2 cdot xa cdot raiza^2-x^2a = 2xraiza^2-x^2a^2
Substituindo na expressão integrada:
a^22 arcsin(xa) + xraiza^2-x^22 + C

Resposta

A integral integral raiza^2-x^2 , dx é igual a:
a^22 arcsin(xa) + xraiza^2-x^22 + C
Onde C é a constante de integração.

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