Use uma fórmula de recorrência adequada para calcular cada uma das integrais abaixo
Passo 1
O exercício pede para calcular a integral de
utilizando uma fórmula de recorrência adequada. Vamos resolver isso usando integração por partes, que é uma técnica da matéria de Cálculo Integral. Para aplicar essa técnica, precisamos identificar duas partes na função que vamos integrar: uma que vamos derivar e outra que vamos integrar.
Passo 2
A fórmula de integração por partes é:
Vamos escolher
e
. Agora, precisamos calcular
e
.
Passo 3
Calculando
:
Calculando
:
Passo 4
Substituindo na fórmula de integração por partes:
Simplificando:
Aqui, observamos que a integral original depende de outra integral com uma potência menor de
. Isso cria uma fórmula de recorrência, onde cada passo reduz o grau do polinômio.
Passo 5
Vamos chamar
e
. Assim, temos:
Agora, precisamos calcular
usando o mesmo método.
Passo 6
Aplicando integração por partes em
:
Escolhemos
e
.
Calculando
:
Calculando
:
Substituindo na fórmula:
Ou seja:
Onde
.
Passo 7
Repetindo o processo para
:
Escolhemos
e
.
Calculando
:
Calculando
:
Substituindo:
Ou seja:
Onde
.
Passo 8
Finalizando com
:
Escolhemos
e
.
Calculando
:
Calculando
:
Substituindo:
Onde
é a constante de integração. Simplificando:
Passo 9
Agora, substituindo
em
:
Substituindo
em
:
Finalmente, substituindo
em
:
Resposta
A integral de
em relação a
é:
Onde
é a constante de integração.