Use uma fórmula de recorrência adequada para calcular cada uma das integrais abaixo integral x^4 e^x d x

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral de utilizando uma fórmula de recorrência adequada. Vamos resolver isso usando integração por partes, que é uma técnica da matéria de Cálculo Integral. Para aplicar essa técnica, precisamos identificar duas partes na função que vamos integrar: uma que vamos derivar e outra que vamos integrar.

Passo 2

A fórmula de integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher e . Agora, precisamos calcular e .

Passo 3

Calculando du = ddx x^4 , dx = 4x^3 , dx :
v = integral e^x , dx = e^x
Calculando :

Passo 4

Substituindo na fórmula de integração por partes:
integral x^4 e^x , dx = x^4 e^x - integral e^x cdot 4x^3 , dx
Simplificando:
integral x^4 e^x , dx = x^4 e^x - 4 integral x^3 e^x , dx
Aqui, observamos que a integral original depende de outra integral com uma potência menor de . Isso cria uma fórmula de recorrência, onde cada passo reduz o grau do polinômio.

Passo 5

Vamos chamar I4 = x^4 e^x - 4 I3 e . Assim, temos:
Agora, precisamos calcular usando o mesmo método.

Passo 6

Aplicando integração por partes em du = 3x^2 , dx :
Escolhemos v = e^x e I3 = x^3 e^x - integral e^x cdot 3x^2 , dx = x^3 e^x - 3 integral x^2 e^x , dx .
Calculando I3 = x^3 e^x - 3 I2 :
Calculando :
Substituindo na fórmula:
Ou seja:
Onde .

Passo 7

Repetindo o processo para du = 2x , dx :
Escolhemos v = e^x e I2 = x^2 e^x - integral e^x cdot 2x , dx = x^2 e^x - 2 integral x e^x , dx .
Calculando I2 = x^2 e^x - 2 I1 :
Calculando :
Substituindo:
Ou seja:
Onde .

Passo 8

Finalizando com du = dx :
Escolhemos v = e^x e I1 = x e^x - integral e^x , dx = x e^x - e^x + C .
Calculando I1 = e^x(x - 1) + C :
Calculando :
Substituindo:
Onde é a constante de integração. Simplificando:

Passo 9

Agora, substituindo I2 = x^2 e^x - 2 (e^x(x - 1)) em I2 = e^x(x^2 - 2x + 2) + C :
I3 = x^3 e^x - 3 e^x(x^2 - 2x + 2)
I3 = e^x(x^3 - 3x^2 + 6x - 6) + C
Substituindo I4 = x^4 e^x - 4 e^x(x^3 - 3x^2 + 6x - 6) em I4 = e^x(x^4 - 4x^3 + 12x^2 - 24x + 24) + C :
Finalmente, substituindo em :

Resposta

A integral de integral x^4 e^x , dx = e^x ( x^4 - 4x^3 + 12x^2 - 24x + 24 ) + C em relação a é:
Onde é a constante de integração.

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