Use a ideia acima para resolver os limites abaixo.
(d) lim x 0 ln (1+x)-x-x^22-x^36x^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite quando se aproxima de 0 na expressão . Isso faz parte do conteúdo de Limites em Cálculo, e vamos precisar usar a expansão em série de Taylor para a função logarítmica para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como fica a expansão em série de Taylor para ln(1+x) = x - x^22 + x^33 - x^44 + x^55 - dots perto de . A série é:

Passo 3

Agora, vamos substituir essa expansão na expressão do numerador:
ln(1+x) - x - x^22 - x^36 = (x - x^22 + x^33 - x^44 + dots) - x - x^22 - x^36

Passo 4

Vamos simplificar os termos:
x - x = 0
-x^22 - x^22 = -x^2
x^33 - x^36 = x^36
Então, o numerador fica:
-x^2 + x^36 - x^44 + dots

Passo 5

Agora, dividimos todo o numerador por -x^2 + x^36 - x^44 + dotsx^3 = -1x + 16 - x4 + dots :

Passo 6

Vamos analisar o que acontece quando se aproxima de 0. O termo domina, pois conforme vai ficando menor, tende a .

Resposta

limx 0 ln(1+x) - x - x^22 - x^36x^3 = -infty

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