Use a ideia acima para resolver os limites abaixo.
(b) lim x infty(1+2 x)^12 ln (x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Vamos utilizar conceitos de limites envolvendo potências e logaritmos para simplificar a expressão e encontrar a resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural para facilitar o cálculo do limite. Isso é útil porque transforma a potência em uma multiplicação, tornando a expressão mais fácil de manipular.
ln((1+2x)^12 ln (x)) = ln(1+2x)2 ln(x)

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento de ln(1+2x) approx ln(2x) = ln(2) + ln(x) quando tende ao infinito. Sabemos que, para valores grandes de , , então:

Passo 4

Substituindo essa aproximação na expressão original, temos:
ln(1+2x)2 ln(x) approx ln(2) + ln(x)2 ln(x) = ln(x)2 ln(x) + ln(2)2 ln(x) = 12 + ln(2)2 ln(x)
Quando 12 + 0 = 12 tende ao infinito, limx infty(1+2x)^12 ln (x) = e^12 = raize também tende ao infinito, então tende a zero. Portanto, o limite fica:
Agora, lembrando que aplicamos o logaritmo natural no início, precisamos voltar à expressão original usando a função exponencial:

Resposta

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