Use integração por partes para calcular cada integral indefinida a seguir.

Passo 1

Vamos resolver a integral usando integração por partes. Esse método é super útil quando a integral envolve o produto de duas funções, e ele se baseia na fórmula:
Aqui, nosso desafio é escolher corretamente o que será e o que será .

Passo 2

Primeiro, vamos escolher e . Uma boa estratégia é deixar ser a função que fica mais simples quando derivada. Então, vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos calcular e .
Para , derivamos em relação a :
Para , integramos :

Passo 4

Com , , e definidos, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a integral que ficou:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Vamos deixar:
Além disso, podemos expressar em termos de :
Substituindo na integral:
Integrando termo a termo:
Substituindo de volta:

Passo 6

Voltando à expressão original da integração por partes:
Simplificando os termos:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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Calcule as seguintes integrais trigonométricas: