Use integração por partes para calcular cada integral indefinida a seguir.
integral ln (3 x-2) d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral ln(3x - 2) , dx usando integração por partes. Esse método é super útil quando a integral envolve o produto de duas funções, e ele se baseia na fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, nosso desafio é escolher corretamente o que será u e o que será dv.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher u e dv. Uma boa estratégia é deixar u ser a função que fica mais simples quando derivada. Então, vamos definir:
u = ln(3x - 2)
dv = dx

Passo 3

Agora, precisamos calcular du e v.
Para du, derivamos u em relação a x:
du = ddx[ln(3x - 2)] , dx = 33x - 2 , dx
Para v, integramos dv:
v = integral dv = integral dx = x

Passo 4

Com u, du, v e dv definidos, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral ln(3x - 2) , dx = x cdot ln(3x - 2) - integral x cdot 33x - 2 , dx

Passo 5

Agora, vamos simplificar a integral que ficou:
integral x cdot 33x - 2 , dx = 3 integral x3x - 2 , dx
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Vamos deixar:
w = 3x - 2 Rightarrow dw = 3 , dx Rightarrow dx = dw3
Além disso, podemos expressar x em termos de w:
x = w + 23
Substituindo na integral:
3 integral w + 23w cdot dw3 = 3 cdot 13 integral (ww + 2w) , dw = integral (1 + 2w) , dw
Integrando termo a termo:
integral 1 , dw + 2 integral 1w , dw = w + 2 ln|w| + C
Substituindo w = 3x - 2 de volta:
3x - 2 + 2 ln|3x - 2| + C

Passo 6

Voltando à expressão original da integração por partes:
integral ln(3x - 2) , dx = x cdot ln(3x - 2) - (3x - 2 + 2 ln|3x - 2|) + C
Simplificando os termos:
= x ln(3x - 2) - 3x + 2 - 2 ln(3x - 2) + C
= (x - 2) ln(3x - 2) - 3x + 2 + C

Resposta

A integral é igual a (x - 2) ln(3x - 2) - 3x + 2 + C, onde C é a constante de integração.

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