Use integração por partes para calcular cada integral indefinida a seguir.
Passo 1
Vamos resolver a integral
usando integração por partes. Esse método é super útil quando a integral envolve o produto de duas funções, e ele se baseia na fórmula:
Aqui, nosso desafio é escolher corretamente o que será
e o que será
.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher
e
. Uma boa estratégia é deixar
ser a função que fica mais simples quando derivada. Então, vamos definir:
Passo 3
Agora, precisamos calcular
e
.
Para
, derivamos
em relação a
:
Para
, integramos
:
Passo 4
Com
,
,
e
definidos, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a integral que ficou:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Vamos deixar:
Além disso, podemos expressar
em termos de
:
Substituindo na integral:
Integrando termo a termo:
Substituindo
de volta:
Passo 6
Voltando à expressão original da integração por partes:
Simplificando os termos:
Resposta
A integral é igual a
, onde
é a constante de integração.
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