Use integração por partes para calcular cada integral indefinida a seguir.
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver a integral indefinida
usando o método de integração por partes. Esse método é útil quando a integral é o produto de duas funções, como aqui onde temos
e
. Para isso, vamos precisar identificar qual parte da integral será
e qual será
.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher
e
. Geralmente, escolhemos
como a parte que fica mais simples ao derivar. Então, deixamos:
-
(porque ao derivar vai simplificar) -
Passo 3
Agora, vamos calcular
e
:
- Derivando
, temos - Integramos
para encontrar :
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 5
Agora, precisamos resolver a nova integral
. Vamos aplicar integração por partes de novo. Desta vez:
Passo 6
Calculando
e
para essa segunda aplicação:
- Derivando
, temos - Integramos
:
Passo 7
Aplicando novamente a fórmula:
Simplificando:
Passo 8
Integrando
, temos:
Então:
Passo 9
Voltando à expressão original:
Distribuindo o sinal negativo:
Resposta
Onde
é a constante de integração.
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Calcule:
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