Use integração por partes para calcular cada integral indefinida a seguir.
integral x^2 cdot cos x d x

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver a integral indefinida usando o método de integração por partes. Esse método é útil quando a integral é o produto de duas funções, como aqui onde temos e . Para isso, vamos precisar identificar qual parte da integral será e qual será .

Passo 2

Primeiro, vamos escolher e . Geralmente, escolhemos como a parte que fica mais simples ao derivar. Então, deixamos:
  • (porque ao derivar vai simplificar)

Passo 3

Agora, vamos calcular e :
  • Derivando , temos
  • Integramos para encontrar :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral x^2 cdot cos x , dx = x^2 cdot sin x - integral sin x cdot 2x , dx

Passo 5

Agora, precisamos resolver a nova integral . Vamos aplicar integração por partes de novo. Desta vez:

Passo 6

Calculando e para essa segunda aplicação:
  • Derivando , temos
  • Integramos :

Passo 7

Aplicando novamente a fórmula:
integral 2x cdot sin x , dx = 2x cdot (-cos x) - integral (-cos x) cdot 2 , dx
Simplificando:
= -2x cos x + 2 integral cos x , dx

Passo 8

Integrando integral cos x , dx = sin x , temos:
-2x cos x + 2 sin x
Então:

Passo 9

Voltando à expressão original:
integral x^2 cdot cos x , dx = x^2 sin x - ( -2x cos x + 2 sin x )
Distribuindo o sinal negativo:
= x^2 sin x + 2x cos x - 2 sin x

Resposta

integral x^2 cdot cos x , dx = x^2 sin x + 2x cos x - 2 sin x + C
Onde é a constante de integração.

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