Use integração por partes para calcular cada integral indefinida a seguir.

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver a integral indefinida usando o método de integração por partes. Esse método é útil quando a integral é o produto de duas funções, como aqui onde temos e . Para isso, vamos precisar identificar qual parte da integral será e qual será .

Passo 2

Primeiro, vamos escolher e . Geralmente, escolhemos como a parte que fica mais simples ao derivar. Então, deixamos:
  • (porque ao derivar vai simplificar)

Passo 3

Agora, vamos calcular e :
  • Derivando , temos
  • Integramos para encontrar :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Agora, precisamos resolver a nova integral . Vamos aplicar integração por partes de novo. Desta vez:

Passo 6

Calculando e para essa segunda aplicação:
  • Derivando , temos
  • Integramos :

Passo 7

Aplicando novamente a fórmula:
Simplificando:

Passo 8

Integrando , temos:
Então:

Passo 9

Voltando à expressão original:
Distribuindo o sinal negativo:

Resposta

Onde é a constante de integração.

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Calcule:
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