Use integração por partes para calcular cada integral indefinida a seguir.
integral x^2 cdot e^-2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando integração por partes. Esse método é super útil quando a integral é o produto de duas funções, como é o caso aqui. Vamos precisar lembrar da fórmula da integração por partes e aplicar ela direitinho passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar quais partes da nossa integral vão ser u = x^2 Rightarrow du = 2x , dx e dv = e^-2x , dx Rightarrow v = integral e^-2x , dx = -12 e^-2x . Geralmente, escolhemos como a função que fica mais simples quando derivada, e como o restante. Aqui, vou escolher:

Passo 3

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral x^2 cdot e^-2x , dx = x^2 cdot (-12 e^-2x) - integral (-12 e^-2x) cdot 2x , dx
= -12 x^2 e^-2x + integral x cdot e^-2x , dx

Passo 4

Agora temos uma nova integral u = x Rightarrow du = dx para resolver. Vamos aplicar novamente a integração por partes.
Escolho dessa vez:
dv = e^-2x , dx Rightarrow v = -12 e^-2x
integral x cdot e^-2x , dx = x cdot (-12 e^-2x) - integral (-12 e^-2x) cdot dx
Aplicando a fórmula:
= -12 x e^-2x + 12 integral e^-2x , dx
= -12 x e^-2x + 12 (-12 e^-2x) + C
= -12 x e^-2x - 14 e^-2x + C

Passo 5

Voltando ao passo anterior, substituímos a integral que resolvemos:
integral x^2 cdot e^-2x , dx = -12 x^2 e^-2x + (-12 x e^-2x - 14 e^-2x) + C
= -12 x^2 e^-2x - 12 x e^-2x - 14 e^-2x + C
= -12 e^-2x (x^2 + x + 12) + C

Resposta

A integral -12 e^-2x (x^2 + x + 12) + C é igual a:

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