Use integração por partes para calcular as integrais abaixo, durante a integração em alguns itens você vai precisar usar o método de integração por substituição.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A gente tem que usar integração por partes, que é uma técnica para integrar produtos de funções. Também, pode ser que a gente precise usar substituição, que ajuda quando temos funções compostas. No caso, precisamos calcular:
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da integração por partes. Lembra que a fórmula é:
Aqui, vamos escolher:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
e
.
Calculando
:
- Derivando
em relação a , temos
Calculando
:
- Integramos
- Sabemos que
- Então,
Passo 4
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo
,
e
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos integrar
. Para isso, usamos a substituição.
Seja:
-
- Então,
ou
A integral fica:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Voltando à nossa expressão anterior:
Simplificando:
Resposta
A integral é dada por: