Use integração por partes para calcular as integrais abaixo, durante a integração em alguns itens você vai precisar usar o método de integração por substituição.
integral 4 x sec ^2(3 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A gente tem que usar integração por partes, que é uma técnica para integrar produtos de funções. Também, pode ser que a gente precise usar substituição, que ajuda quando temos funções compostas. No caso, precisamos calcular:
integral 4x sec^2(3x) , dx

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da integração por partes. Lembra que a fórmula é:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Aqui, vamos escolher:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du = 4 , dx e v = tan(3x)3 .
Calculando :
  • Derivando em relação a , temos
Calculando :
  • Integramos
  • Sabemos que
  • Então,

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral 4x sec^2(3x) , dx = u , v - integral v , du
Substituindo = 4x cdot tan(3x)3 - integral tan(3x)3 cdot 4 , dx , = 4x tan(3x)3 - 43 integral tan(3x) , dx e :
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos integrar integral tan(t) cdot dt3 = 13 integral tan(t) , dt . Para isso, usamos a substituição.
Seja:
  • = 13 ( -ln|cos(t)| ) + C = -13 ln|cos(3x)| + C
  • Então, ou
A integral fica:
Sabemos que , então:

Passo 6

Voltando à nossa expressão anterior:
4x tan(3x)3 - 43 ( -13 ln|cos(3x)| ) + C
Simplificando:
= 4x tan(3x)3 + 49 ln|cos(3x)| + C

Resposta

A integral é dada por:
integral 4x sec^2(3x) , dx = 4x tan(3x)3 + 49 ln|cos(3x)| + C

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