Use integração por partes para calcular as integrais definidas abaixo.
integralpi / 4^pi / 2 x cos (x) d x

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral definida de no intervalo de a . Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Essa técnica nos ajuda a transformar uma integral complicada em outra mais simples.

Passo 3

Agora, precisamos escolher quais partes da nossa função serão u = x Rightarrow du = dx e dv = cos(x) , dx Rightarrow v = sin(x) . A escolha geralmente é feita de forma que seja a parte que se simplifica ao derivar, e seja a parte que é fácil de integrar.
Vamos escolher:

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral x cos(x) , dx = x sin(x) - integral sin(x) , dx

Passo 5

Agora, resolvemos a segunda integral: integral sin(x) , dx = -cos(x) . A antiderivada de é , então:

Passo 6

Substituindo de volta na expressão que obtivemos:
integral x cos(x) , dx = x sin(x) + cos(x) + C
Como estamos calculando uma integral definida, vamos aplicar os limites de integração.

Passo 7

Aplicamos os limites [ x sin(x) + cos(x) ]pi4^pi2 = ( pi2 cdot sin( pi2 ) + cos( pi2 ) ) - ( pi4 cdot sin( pi4 ) + cos( pi4 ) ) e :

Passo 8

Calculamos os valores das funções trigonométricas:
sin( pi2 ) = 1, cos( pi2 ) = 0
sin( pi4 ) = raiz22, cos( pi4 ) = raiz22
Substituindo:
( pi2 cdot 1 + 0 ) - ( pi4 cdot raiz22 + raiz22 ) = pi2 - ( pi raiz28 + raiz22 )

Passo 9

Simplificamos a expressão:
= pi2 - pi raiz28 - raiz22
= pi2 - pi raiz28 - 4 raiz28
= pi2 - pi raiz2 + 4 raiz28

Resposta

A integral definida de pi2 - pi raiz2 + 4 raiz28 de a é:

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