Use integração por partes para calcular as integrais definidas abaixo.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral definida de
no intervalo de
a
. Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Essa técnica nos ajuda a transformar uma integral complicada em outra mais simples.
Passo 3
Agora, precisamos escolher quais partes da nossa função serão
e
. A escolha geralmente é feita de forma que
seja a parte que se simplifica ao derivar, e
seja a parte que é fácil de integrar.
Vamos escolher:
Passo 4
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Passo 5
Agora, resolvemos a segunda integral:
. A antiderivada de
é
, então:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão que obtivemos:
Como estamos calculando uma integral definida, vamos aplicar os limites de integração.
Passo 7
Aplicamos os limites
e
:
Passo 8
Calculamos os valores das funções trigonométricas:
Substituindo:
Passo 9
Simplificamos a expressão:
Resposta
A integral definida de
de
a
é: