Use integração por partes para calcular as integrais definidas abaixo.
integral0^1 / 3 x e^3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida: . A gente vai usar o método de integração por partes, que é uma técnica útil quando temos um produto de funções. Vamos precisar identificar partes da integral que correspondem a e na fórmula de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
A ideia é escolher o e o de forma estratégica para facilitar a resolução da integral.

Passo 3

Vamos escolher:
u = x e dv = e^3x , dx
Agora, precisamos calcular du = dx e v = integral e^3x , dx = 13 e^3x :
Para encontrar , integramos :
Isso porque a integral de é .

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral0^1/3 x e^3x , dx = u cdot v |0^1/3 - integral0^1/3 v cdot du
Substituindo os valores que encontramos:
= x cdot 13 e^3x |0^1/3 - integral0^1/3 13 e^3x cdot dx

Passo 5

Vamos calcular a primeira parte:
x cdot 13 e^3x |0^1/3 = 13 cdot 13 e^3 cdot 13 - 13 cdot 0 cdot e^0 = 19 e^1 - 0 = e9
Agora, a segunda integral:
integral0^1/3 13 e^3x , dx = 13 cdot 13 e^3x |0^1/3 = 19 ( e^1 - e^0 ) = 19 (e - 1)

Passo 6

Substituindo de volta na equação:
integral0^1/3 x e^3x , dx = e9 - 19 (e - 1) = e9 - e9 + 19 = 19

Resposta

O valor da integral definida é .

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