Use integração por partes para calcular as integrais abaixo.
integral(7 x+2) cos (x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral(7x + 2)cos(x) ,dx usando integração por partes. Esse método é útil quando temos o produto de duas funções, e a gente precisa integrar isso. Vamos precisar identificar quais partes da expressão serão atribuídas a e para aplicar a fórmula corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Precisamos escolher e de forma que, ao derivar e integrar , a integral resultante seja mais simples.

Passo 3

No nosso caso, vamos escolher:
u = 7x + 2 e dv = cos(x) , dx
Agora, vamos calcular du = ddx(7x + 2) , dx = 7 , dx e v = integral cos(x) , dx = sin(x) :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral (7x + 2)cos(x) , dx = uv - integral v , du = (7x + 2)sin(x) - integral sin(x) cdot 7 , dx

Passo 5

Vamos simplificar a integral que sobrou:
(7x + 2)sin(x) - 7integral sin(x) , dx
Sabemos que:
integral sin(x) , dx = -cos(x)

Passo 6

Substituindo de volta:
(7x + 2)sin(x) - 7(-cos(x)) = (7x + 2)sin(x) + 7cos(x)

Passo 7

Não esquece de acrescentar a constante de integração , já que estamos resolvendo uma integral indefinida.

Resposta

A integral é:
integral(7x + 2)cos(x) , dx = (7x + 2)sin(x) + 7cos(x) + C

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