Use o Teorema fundamental do cálculo, Parte 1, para encontrar a derivada da função.
H(x)=integralraizx^x^3 e^t^2 d t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrarmos a derivada da função usando o Teorema Fundamental do Cálculo, Parte 1. Esse teorema nos ajuda a relacionar integrais definidas com derivadas, então vamos precisar entender como aplicar as regras de derivação em integrais com limites variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema Fundamental do Cálculo, Parte 1. Ele diz que se temos uma função definida como uma integral com limites variáveis, ou seja, F'(x) = f(b(x)) cdot b'(x) - f(a(x)) cdot a'(x) , então a derivada dessa função em relação a é:
Isso significa que precisamos derivar cada limite de integração em relação a e multiplicar pela função dentro da integral avaliada nesses limites.

Passo 3

Aplicando isso à nossa função a'(x) = ddx raizx = 12raizx , temos:
  • b'(x) = ddx x^3 = 3x^2 (limite inferior)
  • (limite superior)
Vamos calcular as derivadas dos limites:

Passo 4

Agora, aplicamos o teorema:
H'(x) = f(b(x)) cdot b'(x) - f(a(x)) cdot a'(x)
Substituindo os valores:
H'(x) = e^(x^3)^2 cdot 3x^2 - e^(raizx)^2 cdot 12raizx
Simplificando as potências:
H'(x) = e^x^6 cdot 3x^2 - e^x cdot 12raizx

Resposta

A derivada da função é:
H'(x) = 3x^2 e^x^6 - e^x2, raizx

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Use o Teorema fundamental do cálculo, Parte 1, para encontrar a derivada da função.
G(x)=integral0^x^8 sen(t^2) d t.
Use o Teorema fundamental do cálculo, Parte 1, para encontrar a derivada da função.
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Use integração por partes para calcular as seguintes integrais:
integral0^pi / 2 x sen(x) d x.
Use integração por partes para calcular as seguintes integrais:
integral0^pi e^x sen(x) d x.