Verifique que a = 1 é raiz do polinômio 2*x^3 + x^2 - 5*x + 2. Em seguida, encontre o polinômio q(x) tal que 2 x^3 + x^2 - 5 x + 2 = (x - 1) q(x).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos o polinômio e precisamos verificar se é uma raiz desse polinômio. Depois, vamos encontrar outro polinômio tal que multiplicando por nos dê o polinômio original. Para resolver isso, vamos usar conceitos de polinômios e divisão de polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se é uma raiz do polinômio. Isso significa que, substituindo por 1 no polinômio, o resultado deve ser zero.
Vamos calcular:
Como o resultado é zero, confirmamos que é realmente uma raiz do polinômio.

Passo 3

Agora, queremos encontrar o polinômio tal que:
Como o polinômio original é de grau 3 e é de grau 1, o polinômio será de grau 2, ou seja, da forma .

Passo 4

Para encontrar , vamos realizar a divisão de polinômios, dividindo por .
Passo a passo da divisão:
  1. Dividir o primeiro termo do dividendo pelo primeiro termo do divisor:
  1. Multiplicar o divisor pelo resultado obtido e subtrair do dividendo:
  1. Repetir o processo com o novo dividendo:
  1. Mais uma vez:

Passo 5

Após a divisão, encontramos que:
Portanto, o polinômio que satisfaz a equação dada é:

Resposta

O polinômio é .

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