Use integração por partes para resolver as integrais abaixo:
(j) integral x arctg xraiz1+x^2 d x
3
Resolva as integrais contendo trinômio a x^2+b x+c :
(a) integral d xx^2+2 x+5

Passo 1

Vamos resolver a integral . A matéria envolvida aqui é a integração por partes, que é útil quando temos um produto de funções. Precisaremos escolher quais partes da integral serão integral x arctg xraiz1+x^2 , dx e u.

Passo 2

Escolhemos porque sua derivada é simples, e u = arctg x. Assim, vamos derivar dv = xraiz1+x^2 , dx e integrar u para encontrar dv e du.

Passo 3

Calculando as derivadas e integrais:
  • du = 11+x^2 , dx
  • Para encontrar v, integramos dv: v = integral xraiz1+x^2 , dx Fazendo a substituição w = 1 + x^2, dw = 2x , dx, então: v = 12 integral 1raizw , dw = raiz1+x^2

Passo 4

Aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo:

Passo 5

Simplificamos a integral restante:
integral raiz1+x^21+x^2 , dx = integral 1raiz1+x^2 , dx
Sabemos que:
integral 1raiz1+x^2 , dx = ln (x + raiz1+x^2) + C

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral integral dxx^2+2x+5. O conteúdo aqui envolve completar o quadrado no denominador para simplificar a expressão e facilitar a integração.

Passo 7

Primeiro, completamos o quadrado no denominador:
x^2 + 2x + 5 = (x^2 + 2x + 1) + 4 = (x + 1)^2 + 4
Agora, a integral fica:
integral dx(x + 1)^2 + 4

Passo 8

Reconhecemos que a integral tem a forma padrão:
Aqui, integral duu^2 + a^2 = 1a arctg ( ua ) + C e u = x + 1, então a^2 = 4.

Passo 9

Aplicamos a fórmula:

Resposta

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