Use o Teorema de Green para calcular a integral. Suponha que a curva seja orientada no sentido anti-horário.
onde
é o triângulo de vértices
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral é
, onde
é o triângulo com vértices em
,
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região que a curva delimita.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que, para uma curva fechada orientada positivamente (no sentido anti-horário), a integral de linha
pode ser convertida em uma integral dupla sobre a região
delimitada por
:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
Passo 5
Então, a integral dupla fica:
Agora, precisamos calcular a área do triângulo
com vértices em
,
e
.
Passo 6
Para encontrar a área de um triângulo com vértices
,
e
, podemos usar a fórmula:
Aplicando os pontos
,
e
:
Passo 7
Então, a integral dupla é:
Resposta
A integral vale
.
Exercícios relacionados
Use o Teorema de Green para calcular a integral. Suponha que a curva seja orientada no sentido anti-horário.
onde
é o círculo
.
Use o Teorema de Green para calcular a integral. Suponha que a curva seja orientada no sentido anti-horário.
onde
é o retângulo limitado por
e
.
Use uma integral de linha para encontrar a área do triângulo de vértices
,
, onde
e
.
Use o Teorema de Green para calcular a integral. Suponha que a curva seja orientada no sentido anti-horário.
onde
é a fronteira da região compreendida por
e
.