Use o Teorema de Green para calcular a integral. Suponha que a curva seja orientada no sentido anti-horário.
ointC ln (1+y) d x-x y1+y d y onde C é o triângulo de vértices (0,0),(2,0),(0,4).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral é ointC ln (1+y) , dx - x y1+y , dy, onde C é o triângulo com vértices em (0,0), (2,0) e (0,4). Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região que a curva delimita.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que, para uma curva fechada orientada positivamente (no sentido anti-horário), a integral de linha ointC P , dx + Q , dy pode ser convertida em uma integral dupla sobre a região D delimitada por C:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dA
Aqui, P = ln(1+y) e Q = -x y1+y.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x ( -x y1+y ) = -y1+y
partial Ppartial y = partialpartial y ( ln(1+y) ) = 11+y

Passo 4

Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = -y1+y - 11+y = -y + 11+y = -1

Passo 5

Então, a integral dupla fica:
integral duplaD (-1) , dA = - integral duplaD dA = - Área(D) Á
Agora, precisamos calcular a área do triângulo D com vértices em (0,0), (2,0) e (0,4).

Passo 6

Para encontrar a área de um triângulo com vértices (x1,y1), (x2,y2) e (x3,y3), podemos usar a fórmula:
Área = 12 |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)| Á
Aplicando os pontos (0,0), (2,0) e (0,4):
Área = 12 |0(0 - 4) + 2(4 - 0) + 0(0 - 0)| = 12 |0 + 8 + 0| = 12 times 8 = 4 Á

Passo 7

Então, a integral dupla é:
- Área(D) = -4 Á

Resposta

A integral vale -4.

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