Use o Teorema de Green para calcular a integral. Suponha que a curva seja orientada no sentido anti-horário.
onde é o triângulo de vértices .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral é , onde é o triângulo com vértices em , e . Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região que a curva delimita.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que, para uma curva fechada orientada positivamente (no sentido anti-horário), a integral de linha pode ser convertida em uma integral dupla sobre a região delimitada por :
Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:

Passo 4

Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:

Passo 5

Então, a integral dupla fica:
Á
Agora, precisamos calcular a área do triângulo com vértices em , e .

Passo 6

Para encontrar a área de um triângulo com vértices , e , podemos usar a fórmula:
Á
Aplicando os pontos , e :
Á

Passo 7

Então, a integral dupla é:
Á

Resposta

A integral vale .

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Use o Teorema de Green para calcular a integral. Suponha que a curva seja orientada no sentido anti-horário.
onde é o círculo .
Use o Teorema de Green para calcular a integral. Suponha que a curva seja orientada no sentido anti-horário.
onde é o retângulo limitado por e .
Use uma integral de linha para encontrar a área do triângulo de vértices , , onde e .
Use o Teorema de Green para calcular a integral. Suponha que a curva seja orientada no sentido anti-horário.
onde é a fronteira da região compreendida por e .