Use o item 7 para provar que
onde
é definida por
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa provar que o limite de
quando
se aproxima de
é igual a 0. A função
está definida de forma diferente para quando
é igual a
e quando não é. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de limites em várias variáveis e, provavelmente, o Teorema do Sandwich (ou Teorema da Aperto).
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Quando
, temos:
E quando
,
. Nosso objetivo é ver o que acontece com
quando
se aproxima de
.
Passo 3
Vamos focar quando
. Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1:
Então, multiplicando toda a desigualdade por
, temos:
Passo 4
Agora, vamos simplificar
. Usando a desigualdade triangular, temos:
Como
e
, podemos escrever:
Passo 5
Agora, observamos que à medida que
se aproxima de
, tanto
quanto
se aproximam de 0. Então, os termos
,
,
e
também se aproximam de 0. Isso significa que:
Passo 6
Voltando à nossa desigualdade inicial:
E como vimos que
tende a 0, pelo Teorema do Sandwich, concluímos que:
Resposta
Portanto, o limite de
quando
se aproxima de
é 0.
Exercícios relacionados
Para as funções
abaixo indicadas, mostre que
existe e calcule o seu valor, onde
Seja
um conjunto não vazio e seja
.
Assuma que são tais que
Assuma que
e
onde
.
Prove que existe tal que se
e
, então
Prove que existe
Dica: Defina
.
Prove que é contínua em todo o
.
Prove que
Para as funções
abaixo indicadas, calcule, se existir,
e discuta sobre a possibilidade ou não de tais funções serem estendidas continuamente para
, definindo apropriadamente
, onde
Para as funções
abaixo indicadas, calcule, se existir,
e discuta sobre a possibilidade ou não de tais funções serem estendidas continuamente para
, definindo apropriadamente
, onde