Use o item 7 para provar que
lim (x, y) (0,0) f(x, y)=0
onde f: R^2 R é definida por
f(x, y)= (x^2+y^2+x-y) sin (1x^2+y^2), & se (x, y) neq(0,0) 5, & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa provar que o limite de quando se aproxima de é igual a 0. A função está definida de forma diferente para quando é igual a e quando não é. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de limites em várias variáveis e, provavelmente, o Teorema do Sandwich (ou Teorema da Aperto).

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função f(x, y) = (x^2 + y^2 + x - y) sin(1x^2 + y^2) . Quando , temos:
E quando , . Nosso objetivo é ver o que acontece com quando se aproxima de .

Passo 3

Vamos focar quando -1 <= sin(1x^2 + y^2) <= 1 . Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1:
-|x^2 + y^2 + x - y| <= (x^2 + y^2 + x - y) sin(1x^2 + y^2) <= |x^2 + y^2 + x - y|
Então, multiplicando toda a desigualdade por , temos:

Passo 4

Agora, vamos simplificar |x^2 + y^2 + x - y| <= |x^2| + |y^2| + |x| + |y| . Usando a desigualdade triangular, temos:
|x^2 + y^2 + x - y| <= x^2 + y^2 + |x| + |y|
Como e , podemos escrever:

Passo 5

Agora, observamos que à medida que x^2 + y^2 + |x| + |y| to 0 quando (x, y) to (0,0) se aproxima de , tanto quanto se aproximam de 0. Então, os termos , , e também se aproximam de 0. Isso significa que:

Passo 6

Voltando à nossa desigualdade inicial:
-|x^2 + y^2 + x - y| <= f(x, y) <= |x^2 + y^2 + x - y|
E como vimos que lim(x, y) to (0,0) f(x, y) = 0 tende a 0, pelo Teorema do Sandwich, concluímos que:

Resposta

Portanto, o limite de quando se aproxima de é 0.

Exercícios relacionados

Para as funções f: R^2 backslash(0,0) R abaixo indicadas, mostre que lim (x, y) (0,0) f(x, y) existe e calcule o seu valor, onde
f(x, y)=cos (x^3-y^3x^2+y^2)
Seja D subset R^n um conjunto não vazio e seja x0 in D^prime.
Assuma que f, g: D R são tais que
lim x x0 f(x)=L in R
e
lim x x0 g(x)=M in R
onde L.
Prove que existe de0 tal que se x in D e 0<|x-x0|, então
f(x)
Dica: Defina varepsilon=M-L2.
Prove que f é contínua em todo o R^2.
Para as funções f: R^2 backslash(0,0) R abaixo indicadas, calcule, se existir, lim (x, y) (0,0) f(x, y) e discuta sobre a possibilidade ou não de tais funções serem estendidas continuamente para (0,0), definindo apropriadamente f(0,0), onde
f(x, y)=ln (3 x^4-x^2 y^2+3 y^4x^2+y^2+2),
Para as funções f: R^2 backslash(0,0) R abaixo indicadas, calcule, se existir, lim (x, y) (0,0) f(x, y) e discuta sobre a possibilidade ou não de tais funções serem estendidas continuamente para (0,0), definindo apropriadamente f(0,0), onde
f(x, y)=ln (x^2 cos ^2(1x^2+y^2)+3)