Use o Lema Fundamental e mostre que a função é diferenciável no domínio indicado.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente usar o Lema Fundamental para mostrar que a função é diferenciável no domínio . Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre diferenciabilidade de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender o que é diferenciabilidade, calcular as derivadas parciais da função e verificar se elas são contínuas no domínio dado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser diferenciável. Uma função é diferenciável em um ponto se ela pode ser aproximada por um plano tangente naquele ponto. Isso acontece se as derivadas parciais de existem e são contínuas perto desse ponto.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:
Passo 4
Em seguida, precisamos verificar se essas derivadas parciais são contínuas no domínio . Observamos que no denominador nunca é zero no domínio , pois excluímos o ponto . Portanto, as expressões para e são contínuas em todo o domínio .
Passo 5
Como as derivadas parciais de existem e são contínuas em , pelo Lema Fundamental, podemos concluir que a função é diferenciável em todo o domínio .
Resposta
A função é diferenciável no domínio .
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(f) Toda função diferenciável possui derivadas parcias de ordem contínuas.
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Calcule a diferencial das funções seguintes:
(a)