Use TFC 1 para encontrar a derivada das funções F(x)=integral-x^x t^3 d t

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado pede para encontrar a derivada da função usando o Teorema Fundamental do Cálculo, parte 1 (TFC 1). Basicamente, vamos descobrir como a função muda conforme muda, ou seja, vamos encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que diz o Teorema Fundamental do Cálculo, parte 1. Esse teorema nos ajuda a relacionar derivadas com integrais. Se você tem uma função definida como uma integral com limites que dependem de F'(x) = f(b(x)) cdot b'(x) - f(a(x)) cdot a'(x) , como no nosso caso, a derivada dessa função é dada por:
Aqui, é a função que está sendo integrada, é o limite superior e é o limite inferior da integral.

Passo 3

No nosso exercício, a função dentro da integral é , o limite superior é e o limite inferior é . Vamos identificar cada parte para aplicar a fórmula:

Passo 4

Agora, vamos substituir esses valores na fórmula do TFC 1:
F'(x) = f(b(x)) cdot b'(x) - f(a(x)) cdot a'(x)
Substituindo:
F'(x) = x^3 cdot 1 - (-x^3) cdot (-1)

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
F'(x) = x^3 - (-x^3) cdot (-1)
Sabemos que F'(x) = x^3 - x^3 , então:
F'(x) = 0

Resposta

A derivada da função é .

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