Use o método das frações parciais para calcular as integrais abaixo:
Passo 1
Beleza, bora resolver essa integral juntos! O exercício pede para usar o método das frações parciais para calcular a integral de
. Isso é parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente integrando funções racionais usando frações parciais. Vamos precisar dividir a fração original em partes mais simples que a gente sabe integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a fração
de uma forma que facilite a integração. O método das frações parciais funciona melhor quando o numerador tem grau menor que o denominador, o que já é o caso aqui.
Passo 3
Com o denominador
, sabemos que a forma das frações parciais será:
Onde A e B são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Agora, multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão do lado direito:
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Passo 6
Para que as duas expressões sejam iguais para todo x, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 7
Resolvendo o primeiro dado que
, substituímos na segunda equação:
Passo 8
Com os valores de A e B encontrados, nossa fração parcial fica:
Passo 9
Agora, podemos integrar termo a termo:
Passo 10
Integrando cada parte:
- Para
, sabemos que , então:
- Para
, lembramos que , então:
Resposta
Juntando tudo, a integral é:
Onde
é a constante de integração.
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Reduza à forma
cada uma das expressões
.
Use o método das frações parciais para calcular as integrais abaixo:
Reduza à forma
cada uma das expressões
.
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