Use o método das frações parciais para calcular as integrais abaixo:

Passo 1

Beleza, bora resolver essa integral juntos! O exercício pede para usar o método das frações parciais para calcular a integral de . Isso é parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente integrando funções racionais usando frações parciais. Vamos precisar dividir a fração original em partes mais simples que a gente sabe integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a fração de uma forma que facilite a integração. O método das frações parciais funciona melhor quando o numerador tem grau menor que o denominador, o que já é o caso aqui.

Passo 3

Com o denominador , sabemos que a forma das frações parciais será:
Onde A e B são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Agora, multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão do lado direito:
Agora, agrupamos os termos semelhantes:

Passo 6

Para que as duas expressões sejam iguais para todo x, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Assim, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 7

Resolvendo o primeiro dado que , substituímos na segunda equação:

Passo 8

Com os valores de A e B encontrados, nossa fração parcial fica:

Passo 9

Agora, podemos integrar termo a termo:

Passo 10

Integrando cada parte:
  1. Para , sabemos que , então:
  1. Para , lembramos que , então:

Resposta

Juntando tudo, a integral é:
Onde é a constante de integração.

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Reduza à forma cada uma das expressões .
Use o método das frações parciais para calcular as integrais abaixo:
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