Use o método das frações parciais para calcular as integrais abaixo:
integral 4-3 x(x-1)^2 d x

Passo 1

Beleza, bora resolver essa integral juntos! O exercício pede para usar o método das frações parciais para calcular a integral de 4 - 3x(x - 1)^2 , dx. Isso é parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente integrando funções racionais usando frações parciais. Vamos precisar dividir a fração original em partes mais simples que a gente sabe integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a fração 4 - 3x(x - 1)^2 de uma forma que facilite a integração. O método das frações parciais funciona melhor quando o numerador tem grau menor que o denominador, o que já é o caso aqui.

Passo 3

Com o denominador (x - 1)^2, sabemos que a forma das frações parciais será:
4 - 3x(x - 1)^2 = Ax - 1 + B(x - 1)^2
Onde A e B são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Agora, multiplicamos ambos os lados da equação por (x - 1)^2 para eliminar os denominadores:
4 - 3x = A(x - 1) + B

Passo 5

Vamos simplificar a expressão do lado direito:
4 - 3x = A x - A + B
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
-3x + 4 = A x + (-A + B)

Passo 6

Para que as duas expressões sejam iguais para todo x, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
-3 = A 4 = -A + B

Passo 7

Resolvendo o primeiro dado que A = -3, substituímos na segunda equação:
4 = -(-3) + B 4 = 3 + B B = 1

Passo 8

Com os valores de A e B encontrados, nossa fração parcial fica:
4 - 3x(x - 1)^2 = -3x - 1 + 1(x - 1)^2

Passo 9

Agora, podemos integrar termo a termo:
integral -3x - 1 , dx + integral 1(x - 1)^2 , dx

Passo 10

Integrando cada parte:
  1. Para integral -3x - 1 , dx, sabemos que integral 1x - a , dx = ln|x - a| + C, então:
-3 ln|x - 1|
  1. Para integral 1(x - 1)^2 , dx, lembramos que integral (x - a)^-2 , dx = (x - a)^-1-1 + C = -1x - a + C, então:
- 1x - 1

Resposta

Juntando tudo, a integral é:
-3 ln|x - 1| - 1x - 1 + C
Onde C é a constante de integração.

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