Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais: integral 2 x^4-2 x+12 x^5-x^4 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral usando o método das frações parciais. Essa técnica é parte da matéria de cálculo integral e nos ajuda a simplificar frações complexas para facilitar a integração. Para isso, vamos precisar fatorar o denominador e expressar a fração dada como uma soma de frações mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador 2x^5 - x^4 = x^4(2x - 1) . Podemos colocar integral 2x^4 - 2x + 1x^4(2x - 1) dx em evidência:
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos expressar a fração 2x^4 - 2x + 1x^4(2x - 1) = Ax + Bx^2 + Cx^3 + Dx^4 + E2x - 1 como uma soma de frações parciais. Assumimos que pode ser escrita da seguinte forma:
Aqui, , , , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por 2x^4 - 2x + 1 = A x^3(2x - 1) + B x^2(2x - 1) + C x (2x - 1) + D (2x - 1) + E x^4 para eliminar os denominadores:

Passo 5

Expandimos o lado direito da equação:
2x^4 - 2x + 1 = 2A x^4 - A x^3 + 2B x^3 - B x^2 + 2C x^2 - C x + 2D x - D + E x^4

Passo 6

Agrupamos os termos semelhantes:
2x^4 - 2x + 1 = (2A + E)x^4 + (-A + 2B)x^3 + (-B + 2C)x^2 + (2D - C)x - D

Passo 7

Igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
2A + E = 2 -A + 2B = 0 -B + 2C = 0 2D - C = -2 -D = 1

Passo 8

Resolvemos o sistema de equações:
  1. De 2(-1) - C = -2 Rightarrow -2 - C = -2 Rightarrow C = 0 , temos -B + 0 = 0 Rightarrow B = 0 .
  2. Substituindo -A + 0 = 0 Rightarrow A = 0 na equação 0 + E = 2 Rightarrow E = 2 :
  1. De e :
  1. De e :
  1. Finalmente, de e :

Passo 9

Substituímos os valores encontrados nas frações parciais:
2x^4 - 2x + 1x^4(2x - 1) = 0x + 0x^2 + 0x^3 + -1x^4 + 22x - 1
Simplificando:
2x^4 - 2x + 1x^4(2x - 1) = -1x^4 + 22x - 1

Passo 10

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
integral ( -1x^4 + 22x - 1 ) dx = integral -1x^4 dx + integral 22x - 1 dx

Passo 11

Calculamos cada integral:
  1. integral 2u cdot du2 = integral 1u du = ln |u| + C2 = ln |2x - 1| + C2
  2. Para , fazemos uma substituição , então , ou :

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados