Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais:
Passo 1
Vamos resolver a integral usando o método das frações parciais. Essa técnica é parte da matéria de cálculo integral e nos ajuda a simplificar frações complexas para facilitar a integração. Para isso, vamos precisar fatorar o denominador e expressar a fração dada como uma soma de frações mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador . Podemos colocar em evidência:
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos expressar a fração como uma soma de frações parciais. Assumimos que pode ser escrita da seguinte forma:
Aqui, , , , e são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Passo 5
Expandimos o lado direito da equação:
Passo 6
Agrupamos os termos semelhantes:
Passo 7
Igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Passo 8
Resolvemos o sistema de equações:
De 2(-1) - C = -2 Rightarrow -2 - C = -2 Rightarrow C = 0 , temos -B + 0 = 0 Rightarrow B = 0 .
Substituindo -A + 0 = 0 Rightarrow A = 0 na equação 0 + E = 2 Rightarrow E = 2 :
De e :
De e :
Finalmente, de e :
Passo 9
Substituímos os valores encontrados nas frações parciais: