Use o método de Newton-Raphson para encontrar os zeros das seguintes funções. Considere a precisão dada.
  • f(x)=x^3-3 x^2+2 x-1, x in(-1,3), epsilon=10^-2;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o método de Newton-Raphson. Basicamente, esse método serve para encontrar as raízes (os zeros) de uma função. No nosso caso, a função é e queremos encontrar onde ela cruza o eixo x no intervalo com uma precisão de . Para isso, vamos precisar da derivada da função e de um chute inicial dentro do intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função f'(x) = ddx(x^3 - 3x^2 + 2x - 1) = 3x^2 - 6x + 2 . A derivada nos dá a inclinação da função em qualquer ponto, o que é essencial para o método de Newton-Raphson. Vamos derivar:

Passo 3

Agora, escolhemos um chute inicial dentro do intervalo . Vamos tentar . Esse valor é apenas uma estimativa inicial, e o método vai refinar esse chute até encontrar a raiz com a precisão desejada.

Passo 4

Aplicamos a fórmula do método de Newton-Raphson:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Vamos calcular f(2) = (2)^3 - 3(2)^2 + 2(2) - 1 = 8 - 12 + 4 - 1 = -1 e f'(2) = 3(2)^2 - 6(2) + 2 = 12 - 12 + 2 = 2 :
x1 = 2 - -12 = 2 + 0.5 = 2.5
Agora, aplicamos a fórmula:

Passo 5

Verificamos se a diferença entre |2.5 - 2| = 0.5 >= 0.01 e f(2.5) = (2.5)^3 - 3(2.5)^2 + 2(2.5) - 1 = 15.625 - 18.75 + 5 - 1 = 0.875 é menor que f'(2.5) = 3(2.5)^2 - 6(2.5) + 2 = 18.75 - 15 + 2 = 5.75 :
x2 = 2.5 - 0.8755.75 approx 2.5 - 0.1522 = 2.3478
Como não atingimos a precisão, repetimos o processo com .
Calculamos e :
Aplicamos a fórmula novamente:

Passo 6

Verificamos a diferença:
|2.3478 - 2.5| approx 0.1522 >= 0.01
Ainda não alcançamos a precisão, então repetimos com f(2.3478) approx (2.3478)^3 - 3(2.3478)^2 + 2(2.3478) - 1 approx 12.923 - 16.523 + 4.696 - 1 approx 0.096 .
Calculamos f'(2.3478) approx 3(2.3478)^2 - 6(2.3478) + 2 approx 16.538 - 14.087 + 2 approx 4.451 e x3 = 2.3478 - 0.0964.451 approx 2.3478 - 0.0216 = 2.3262 :
Aplicamos a fórmula:

Passo 7

Verificamos a diferença:
|2.3262 - 2.3478| approx 0.0216 >= 0.01
Ainda não é suficiente, então vamos mais uma vez com f(2.3262) approx (2.3262)^3 - 3(2.3262)^2 + 2(2.3262) - 1 approx 12.564 - 16.198 + 4.652 - 1 approx 0.018 .
Calculamos f'(2.3262) approx 3(2.3262)^2 - 6(2.3262) + 2 approx 16.2 - 13.957 + 2 approx 4.243 e x4 = 2.3262 - 0.0184.243 approx 2.3262 - 0.0042 = 2.3220 :
Aplicamos a fórmula:

Resposta

A raiz da função no intervalo utilizando o método de Newton-Raphson com precisão de é aproximadamente .

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