Use o método de Newton-Raphson para encontrar os zeros das seguintes funções. Considere a precisão dada.
-
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o método de Newton-Raphson. Basicamente, esse método serve para encontrar as raízes (os zeros) de uma função. No nosso caso, a função é
e queremos encontrar onde ela cruza o eixo x no intervalo
com uma precisão de
. Para isso, vamos precisar da derivada da função e de um chute inicial dentro do intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos dá a inclinação da função em qualquer ponto, o que é essencial para o método de Newton-Raphson. Vamos derivar:
Passo 3
Agora, escolhemos um chute inicial
dentro do intervalo
. Vamos tentar
. Esse valor é apenas uma estimativa inicial, e o método vai refinar esse chute até encontrar a raiz com a precisão desejada.
Passo 4
Aplicamos a fórmula do método de Newton-Raphson:
Vamos calcular
e
:
Agora, aplicamos a fórmula:
Passo 5
Verificamos se a diferença entre
e
é menor que
:
Como não atingimos a precisão, repetimos o processo com
.
Calculamos
e
:
Aplicamos a fórmula novamente:
Passo 6
Verificamos a diferença:
Ainda não alcançamos a precisão, então repetimos com
.
Calculamos
e
:
Aplicamos a fórmula:
Passo 7
Verificamos a diferença:
Ainda não é suficiente, então vamos mais uma vez com
.
Calculamos
e
:
Aplicamos a fórmula:
Resposta
A raiz da função
no intervalo
utilizando o método de Newton-Raphson com precisão de
é aproximadamente
.
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(d)
(d)