Use o método de Newton-Raphson para encontrar os zeros das seguintes funções. Considere a precisão dada.
  • ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o método de Newton-Raphson. Basicamente, esse método serve para encontrar as raízes (os zeros) de uma função. No nosso caso, a função é e queremos encontrar onde ela cruza o eixo x no intervalo com uma precisão de . Para isso, vamos precisar da derivada da função e de um chute inicial dentro do intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a inclinação da função em qualquer ponto, o que é essencial para o método de Newton-Raphson. Vamos derivar:

Passo 3

Agora, escolhemos um chute inicial dentro do intervalo . Vamos tentar . Esse valor é apenas uma estimativa inicial, e o método vai refinar esse chute até encontrar a raiz com a precisão desejada.

Passo 4

Aplicamos a fórmula do método de Newton-Raphson:
Vamos calcular e :
Agora, aplicamos a fórmula:

Passo 5

Verificamos se a diferença entre e é menor que :
Como não atingimos a precisão, repetimos o processo com .
Calculamos e :
Aplicamos a fórmula novamente:

Passo 6

Verificamos a diferença:
Ainda não alcançamos a precisão, então repetimos com .
Calculamos e :
Aplicamos a fórmula:

Passo 7

Verificamos a diferença:
Ainda não é suficiente, então vamos mais uma vez com .
Calculamos e :
Aplicamos a fórmula:

Resposta

A raiz da função no intervalo utilizando o método de Newton-Raphson com precisão de é aproximadamente .

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Use o método de integração por partes para calcular as integrais indefinidas abaixo:
(d)