Utilizando o método de Gauss, encontre o vetor solução dos seguintes sistemas:
l x1+x2+x3+x4+x5=15 x1+2 x2+3 x3+4 x4+5 x5=35 x1+3 x2+6 x3+10 x4+15 x5=70 x1+4 x2+10 x3+20 x4+35 x5=126 x1+5 x2+15 x3+35 x4+70 x5=210

Passo 1

Ei! Vamos resolver esse sistema de equações usando o Método de Gauss, que é uma técnica para encontrar soluções de sistemas lineares. Precisamos organizar as equações de forma a simplificar e encontrar os valores de e . Para isso, vamos usar operações elementares nas linhas da matriz que representa o sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações como uma matriz aumentada, que combina os coeficientes das variáveis com os termos constantes:
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & | & 15 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & | & 35 1 & 3 & 6 & 10 & 15 & | & 70 1 & 4 & 10 & 20 & 35 & | & 126 1 & 5 & 15 & 35 & 70 & | & 210

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma triangular superior, onde abaixo da diagonal principal tudo é zero. Começamos eliminando o primeiro elemento de cada linha abaixo da primeira.
Para eliminar o 1 na segunda linha, subtraímos a primeira linha da segunda:
Linha2 = Linha2 - Linha1
Fazendo isso para cada linha abaixo da primeira:
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & | & 15 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & | & 20 0 & 2 & 5 & 9 & 14 & | & 55 0 & 3 & 9 & 19 & 34 & | & 111 0 & 4 & 14 & 34 & 69 & | & 195

Passo 4

Agora, vamos eliminar o elemento abaixo do 1 na segunda coluna. Para isso, usamos a segunda linha para eliminar os valores abaixo dela.
Subtraímos 2 vezes a segunda linha da terceira linha:
Linha3 = Linha3 - 2 times Linha2
Fazemos o mesmo para a quarta e quinta linhas:
Linha4 = Linha4 - 3 times Linha2
Linha5 = Linha5 - 4 times Linha2
Após essas operações:
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & | & 15 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & | & 20 0 & 0 & 1 & 3 & 6 & | & 15 0 & 0 & 3 & 10 & 22 & | & 51 0 & 0 & 6 & 22 & 53 & | & 115

Passo 5

Continuando, vamos eliminar o elemento abaixo do 1 na terceira coluna usando a terceira linha.
Subtraímos 3 vezes a terceira linha da quarta linha:
Linha4 = Linha4 - 3 times Linha3
E subtraímos 6 vezes a terceira linha da quinta linha:
Linha5 = Linha5 - 6 times Linha3
Isso resulta em:
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & | & 15 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & | & 20 0 & 0 & 1 & 3 & 6 & | & 15 0 & 0 & 0 & 1 & 4 & | & 6 0 & 0 & 0 & 4 & 17 & | & 25

Passo 6

Agora, vamos eliminar o elemento abaixo do 1 na quarta coluna usando a quarta linha.
Subtraímos 4 vezes a quarta linha da quinta linha:
Linha5 = Linha5 - 4 times Linha4
Isso deixa a matriz assim:
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & | & 15 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & | & 20 0 & 0 & 1 & 3 & 6 & | & 15 0 & 0 & 0 & 1 & 4 & | & 6 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & | & 1

Passo 7

Agora que temos a matriz em forma triangular superior, podemos resolver de baixo para cima.
Começamos pela quinta linha:
x5 = 1
Substituímos x4 + 4x5 = 6 implies x4 + 4(1) = 6 implies x4 = 2 na quarta linha:
x3 + 3x4 + 6x5 = 15 implies x3 + 3(2) + 6(1) = 15 implies x3 = 3
Agora, substituímos x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 = 20 implies x2 + 2(3) + 3(2) + 4(1) = 20 implies x2 = 4 e x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 15 implies x1 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 implies x1 = 5 na terceira linha:
Em seguida, substituímos e na segunda linha:
Por fim, substituímos todas as variáveis nas equações para encontrar :

Resposta

A solução do sistema é o vetor 5 4 3 2 1 .

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