Verifique se cada equação diferencial a seguir é ordinária ou parcial e se a função dada é uma solução da equação.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício! O que precisamos fazer aqui é identificar se a equação diferencial dada é ordinária ou parcial e, depois, verificar se a função proposta é uma solução dessa equação. Estamos lidando com equações diferenciais, que envolvem derivadas, e vamos usar alguns conceitos básicos para resolver tudo certinho.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a diferença entre equação diferencial ordinária (EDO) e equação diferencial parcial (EDP).
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Equação Diferencial Ordinária (EDO): Envolve derivadas de uma função em relação a uma única variável independente. Por exemplo, se temos
em função de , apenas está envolvido. -
Equação Diferencial Parcial (EDP): Envolve derivadas de uma função em relação a múltiplas variáveis independentes, tipo
e ao mesmo tempo.
Olha a nossa equação:
Aqui, a função
depende apenas de
, e só temos derivadas em relação a
. Portanto, essa é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO).
Passo 3
Agora, vamos verificar se a função proposta
é uma solução dessa equação. Para isso, precisamos substituir
e sua derivada
na equação e ver se a igualdade se mantém.
Primeiro, calculamos a derivada de
:
Passo 4
Substituindo
e
na equação original:
Vamos simplificar passo a passo:
-
Multiplica
pela derivada: -
Subtrai
:
Portanto, a equação fica:
Isso é uma identidade verdadeira para todo
, o que significa que nossa função satisfaz a equação original.
Resposta
A equação diferencial é ordinária e a função
é uma solução válida dessa equação.
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