Verifique se cada equação diferencial a seguir é ordinária ou parcial e se a função dada é uma solução da equação.
xy' - y = x^2 ; y(x) = 3x + x^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício! O que precisamos fazer aqui é identificar se a equação diferencial dada é ordinária ou parcial e, depois, verificar se a função proposta é uma solução dessa equação. Estamos lidando com equações diferenciais, que envolvem derivadas, e vamos usar alguns conceitos básicos para resolver tudo certinho.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a diferença entre equação diferencial ordinária (EDO) e equação diferencial parcial (EDP).
  • Equação Diferencial Ordinária (EDO): Envolve derivadas de uma função em relação a uma única variável independente. Por exemplo, se temos y em função de x, apenas x está envolvido.
  • Equação Diferencial Parcial (EDP): Envolve derivadas de uma função em relação a múltiplas variáveis independentes, tipo x e y ao mesmo tempo.
Olha a nossa equação:
Aqui, a função y depende apenas de x, e só temos derivadas em relação a x. Portanto, essa é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO).

Passo 3

Agora, vamos verificar se a função proposta é uma solução dessa equação. Para isso, precisamos substituir y(x) e sua derivada y' na equação e ver se a igualdade se mantém.
Primeiro, calculamos a derivada de y(x):

Passo 4

Substituindo y(x) e y' na equação original:
Vamos simplificar passo a passo:
  1. Multiplica x pela derivada:
  2. Subtrai y:
Portanto, a equação fica:
Isso é uma identidade verdadeira para todo x, o que significa que nossa função satisfaz a equação original.

Resposta

A equação diferencial é ordinária e a função é uma solução válida dessa equação.

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