Verifique se cada equação diferencial a seguir é ordinária ou parcial e se a função dada é uma solução da equação.
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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício! O que precisamos fazer aqui é identificar se a equação diferencial dada é ordinária ou parcial e, depois, verificar se a função proposta é uma solução dessa equação. Estamos lidando com equações diferenciais, que envolvem derivadas, e vamos usar alguns conceitos básicos para resolver tudo certinho.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a diferença entre equação diferencial ordinária (EDO) e equação diferencial parcial (EDP).
  • Equação Diferencial Ordinária (EDO): Envolve derivadas de uma função em relação a uma única variável independente. Por exemplo, se temos em função de , apenas está envolvido.
  • Equação Diferencial Parcial (EDP): Envolve derivadas de uma função em relação a múltiplas variáveis independentes, tipo e ao mesmo tempo.
Olha a nossa equação:
Aqui, a função depende apenas de , e só temos derivadas em relação a . Portanto, essa é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO).

Passo 3

Agora, vamos verificar se a função proposta é uma solução dessa equação. Para isso, precisamos substituir e sua derivada na equação e ver se a igualdade se mantém.
Primeiro, calculamos a derivada de :

Passo 4

Substituindo e na equação original:
Vamos simplificar passo a passo:
  1. Multiplica pela derivada:
  2. Subtrai :
Portanto, a equação fica:
Isso é uma identidade verdadeira para todo , o que significa que nossa função satisfaz a equação original.

Resposta

A equação diferencial é ordinária e a função é uma solução válida dessa equação.

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Verifique se cada uma das equações é exata e, em caso afirmativo, resolva-a. Caso a equação seja não exata, encontre um fator integrante e determine a solução.
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