Use o método da substituição de variáveis para calcular as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando o método da substituição de variáveis. Esse método faz parte do cálculo integral e é super útil quando a integral parece complicada, mas podemos simplificá-la trocando uma parte por uma nova variável. Vamos precisar identificar uma parte da função para substituir e seguir os passos direitinho.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar qual parte da função podemos substituir para simplificar a integral. Olhando para
, vemos que dentro do cosseno temos
. Isso parece um bom candidato para substituição.
Passo 3
Vamos definir uma nova variável
para substituir
. Assim:
Essa escolha visa simplificar a parte interna do cosseno.
Passo 4
Agora, precisamos calcular a derivada de
em relação a
para encontrar
. Derivando
:
Passo 5
Observamos que na nossa integral original temos um
. Vamos expressar
em termos de
usando a equação que encontramos:
Portanto:
Passo 6
Substituindo
e
na integral original, temos:
Passo 7
A integral de
em relação a
é
. Portanto:
onde
é a constante de integração.
Passo 8
Agora, substituímos
de volta pela expressão original em termos de
:
Resposta
A integral
é igual a
, onde
é a constante de integração.
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