Use o método da substituição de variáveis para calcular as seguintes integrais: integral 12 t cos (4 t^2) d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o método da substituição de variáveis. Esse método faz parte do cálculo integral e é super útil quando a integral parece complicada, mas podemos simplificá-la trocando uma parte por uma nova variável. Vamos precisar identificar uma parte da função para substituir e seguir os passos direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual parte da função podemos substituir para simplificar a integral. Olhando para , vemos que dentro do cosseno temos . Isso parece um bom candidato para substituição.

Passo 3

Vamos definir uma nova variável u = 4t^2 para substituir . Assim:
Essa escolha visa simplificar a parte interna do cosseno.

Passo 4

Agora, precisamos calcular a derivada de dudt = 8t Rightarrow du = 8t , dt em relação a para encontrar . Derivando :

Passo 5

Observamos que na nossa integral original temos um t , dt = du8 . Vamos expressar 12 t , dt = 12 cdot du8 = du16 em termos de usando a equação que encontramos:
Portanto:

Passo 6

Substituindo integral 12 t cos (4 t^2) dt = integral cos(u) cdot du16 = 116 integral cos(u) , du e na integral original, temos:

Passo 7

A integral de 116 integral cos(u) , du = 116 sin(u) + C em relação a é . Portanto:
onde é a constante de integração.

Passo 8

Agora, substituímos 116 sin(u) + C = 116 sin(4t^2) + C de volta pela expressão original em termos de :

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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