Use o método da substituição de variáveis para calcular as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o método da substituição de variáveis. Esse método faz parte do cálculo integral e é super útil quando a integral parece complicada, mas podemos simplificá-la trocando uma parte por uma nova variável. Vamos precisar identificar uma parte da função para substituir e seguir os passos direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual parte da função podemos substituir para simplificar a integral. Olhando para , vemos que dentro do cosseno temos . Isso parece um bom candidato para substituição.

Passo 3

Vamos definir uma nova variável para substituir . Assim:
Essa escolha visa simplificar a parte interna do cosseno.

Passo 4

Agora, precisamos calcular a derivada de em relação a para encontrar . Derivando :

Passo 5

Observamos que na nossa integral original temos um . Vamos expressar em termos de usando a equação que encontramos:
Portanto:

Passo 6

Substituindo e na integral original, temos:

Passo 7

A integral de em relação a é . Portanto:
onde é a constante de integração.

Passo 8

Agora, substituímos de volta pela expressão original em termos de :

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Use o método da substituição de variáveis para calcular as seguintes integrais:
Use o método da substituição de variáveis para calcular as seguintes integrais:
Use o método da substituição de variáveis para calcular as seguintes integrais:
Use o método da substituição de variáveis para calcular as seguintes integrais: