Use o método da substituição de variáveis para calcular as seguintes integrais: integral sec ^2(3 raizt)raizt d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que envolve o método da substituição de variáveis. O enunciado pede para calcular a integral de sec^2(3 raizt)raizt dt. Para isso, vamos precisar entender como escolher uma boa substituição que simplifique a expressão e facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique o argumento da função trigonométrica. Vamos deixar u = 3 raizt. Isso significa que u = 3 t^1/2.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a t para substituir dt. Calculando a derivada:
dudt = ddt(3 t^1/2) = 3 cdot 12 t^-1/2 = 32 raizt

Passo 4

Vamos isolar dt na equação da derivada:
dt = 2 raizt3 du

Passo 5

Agora, substituímos u e dt na integral original:
integral sec^2(3 raizt)raizt dt = integral sec^2(u)raizt cdot 2 raizt3 du

Passo 6

Simplificando a expressão, os termos raizt se cancelam:
integral sec^2(u)raizt cdot 2 raizt3 du = 23 integral sec^2(u) du

Passo 7

Sabemos que a integral de sec^2(u) é tan(u) + C, onde C é a constante de integração:
23 integral sec^2(u) du = 23 tan(u) + C

Passo 8

Por fim, substituímos u de volta em termos de t:
23 tan(u) + C = 23 tan(3 raizt) + C

Resposta

A integral vale 23 tan(3 raizt) + C, onde C é a constante de integração.

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