Use o método da substituição de variáveis para calcular as seguintes integrais: integral raiz1t-1t^2 d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando o método da substituição de variáveis, que é uma técnica para simplificar integrais transformando a variável original em outra mais fácil de trabalhar. O exercício que temos é:
integral raiz1t - 1t^2 , dt
Vamos precisar entender como escolher uma substituição que torne a integral mais simples para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o que está dentro da raiz quadrada: u = 1t - 1 . Para simplificar, vamos fazer uma substituição que torne essa expressão mais fácil de manipular. Vamos chamar:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudt = -1t^2 em relação a du = -1t^2 , dt Rightarrow dt = -t^2 , du para substituir . Calculando:
Isso significa que:

Passo 4

Vamos substituir integral raizut^2 , dt = integral raizu cdot 1t^2 cdot dt e integral raizu cdot 1t^2 cdot (-t^2 , du) = -integral raizu , du na integral original:
Substituindo por :

Passo 5

Agora, a integral ficou mais simples:
- integral raizu , du
Sabemos que integral u^1/2 , du = 23 u^3/2 + C , e a integral de - integral raizu , du = -23 u^3/2 + C em relação a é:
Portanto:

Passo 6

Agora, vamos voltar para a variável original u = 1t - 1 substituindo -23 u^3/2 + C = -23 (1t - 1)^3/2 + C de volta:
Então:

Resposta

A integral é igual a:
-23 (1t - 1)^3/2 + C
Onde é a constante de integração.

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