Use o método da substituição de variáveis para calcular as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral usando o método da substituição de variáveis, que é uma técnica para simplificar integrais transformando a variável original em outra mais fácil de trabalhar. O exercício que temos é:
Vamos precisar entender como escolher uma substituição que torne a integral mais simples para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos observar o que está dentro da raiz quadrada:
. Para simplificar, vamos fazer uma substituição que torne essa expressão mais fácil de manipular. Vamos chamar:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir
. Calculando:
Isso significa que:
Passo 4
Vamos substituir
e
na integral original:
Substituindo
por
:
Passo 5
Agora, a integral ficou mais simples:
Sabemos que
, e a integral de
em relação a
é:
Portanto:
Passo 6
Agora, vamos voltar para a variável original
substituindo
de volta:
Então:
Resposta
A integral é igual a:
Onde
é a constante de integração.