Use o método da substituição de variáveis para calcular as seguintes integrais: integral 3 x^25 x^3-1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o método da substituição de variáveis. Esse método é super útil quando a integral parece complicada, mas conseguimos simplificar fazendo uma troca de variável. Aqui, vamos precisar identificar uma parte da integral que, ao ser substituída, facilita a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir. Observando o denominador , percebemos que a derivada dessa expressão é . Note que temos no numerador, que é proporcional à derivada do denominador. Isso é um sinal de que a substituição vai funcionar bem.

Passo 3

Vamos fazer a substituição du = ddx(5x^3 - 1) , dx = 15x^2 , dx . Agora, precisamos encontrar , que é a derivada de em relação a :
Isso significa que .

Passo 4

Observamos que no numerador da nossa integral temos 3x^2 , dx = du5 . Podemos relacionar isso com integral 3x^25x^3 - 1 , dx = integral du5u = 15 integral 1u , du :
Portanto, a integral original pode ser reescrita em termos de :

Passo 5

Agora, a integral 15 integral 1u , du = 15 ln|u| + C é uma integral básica que sabemos resolver. A antiderivada de é . Então:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, vamos voltar para a variável original substituindo 15 ln|5x^3 - 1| + C :

Resposta

integral 3 x^25 x^3-1 , dx = 15 ln|5x^3 - 1| + C

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