Use o método da substituição de variáveis para calcular as seguintes integrais: integral cos (t)1+2 sen(t) d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O problema pede para calcular a integral de em relação a usando o método de substituição de variáveis. Isso está dentro da matéria de Cálculo Integral, mais especificamente usando a técnica de substituição para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável para simplificar a expressão. Olhando para o denominador , parece uma boa candidata para substituição.

Passo 3

Vamos chamar essa parte de u = 1 + 2 sin(t) . Então, definimos:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudt = 2 cos(t) em relação a , ou seja, , para substituir na integral. Derivando :

Passo 5

Queremos expressar cos(t) dt = du2 em termos de . Isolando :

Passo 6

Agora, substituímos integral cos(t)1 + 2 sin(t) dt = integral du2u = 12 integral duu e na integral original:

Passo 7

A integral de 12 integral duu = 12 ln|u| + C em relação a é o logaritmo natural de . Portanto:

Passo 8

Finalmente, substituímos 12 ln|1 + 2 sin(t)| + C de volta para a expressão original em termos de :

Resposta

A integral é igual a .

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