Use o método da substituição de variáveis para calcular as seguintes integrais: integral 2 t+3t+1 d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a integral usando o método da substituição de variáveis. Isso faz parte do estudo de Cálculo Integral, mais especificamente sobre integração por substituição. Vamos precisar identificar uma parte da expressão que a gente pode substituir por uma nova variável para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que torne a integral mais fácil de resolver. Olha só, no denominador temos u = t + 1 , então vamos deixar esse termo ser nossa nova variável. Vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos expressar dudt = 1 implies dt = du em termos de . Derivando ambos os lados da equação em relação a , temos:

Passo 4

Vamos reescrever a integral original em termos de 2t + 3 = 2(u - 1) + 3 = 2u - 2 + 3 = 2u + 1 . Substituindo integral 2u + 1u , du na parte do numerador:
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, simplificamos a fração dividindo cada termo do numerador por 2u + 1u = 2uu + 1u = 2 + 1u :
integral (2 + 1u) , du
Então, a integral passa a ser:

Passo 6

Vamos integrar cada termo separadamente. A integral de 2 em relação a 2u + ln|u| + C é , e a integral de é . Então:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, voltamos à variável original 2(t + 1) + ln|t + 1| + C , lembrando que :

Resposta

A integral 2(t + 1) + ln|t + 1| + C é igual a:

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