Use o método da substituição de variáveis para calcular as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a integral
usando o método da substituição de variáveis. Isso faz parte do estudo de Cálculo Integral, mais especificamente sobre integração por substituição. Vamos precisar identificar uma parte da expressão que a gente pode substituir por uma nova variável para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma substituição que torne a integral mais fácil de resolver. Olha só, no denominador temos
, então vamos deixar esse termo ser nossa nova variável. Vamos definir:
Passo 3
Agora, precisamos expressar
em termos de
. Derivando ambos os lados da equação
em relação a
, temos:
Passo 4
Vamos reescrever a integral original em termos de
. Substituindo
na parte do numerador:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, simplificamos a fração dividindo cada termo do numerador por
:
Então, a integral passa a ser:
Passo 6
Vamos integrar cada termo separadamente. A integral de 2 em relação a
é
, e a integral de
é
. Então:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, voltamos à variável original
, lembrando que
:
Resposta
A integral
é igual a:
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Determine as derivadas das funçōes encontradas nos exercícios 17-28.
Use o método da substituição de variáveis para calcular as seguintes integrais:
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