Verifique se equações diferenciais seguintes são exatas, e resolve as que o forem
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a equação diferencial
é exata e, se for, resolver. Vamos usar conceitos de equações diferenciais e verificar a exatidão usando derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial exata. Uma equação da forma
é exata se a derivada de
em relação a
for igual à derivada de
em relação a
, ou seja:
Isso significa que existe uma função potencial
tal que:
Passo 3
Vamos identificar
e
na nossa equação:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Passo 4
Calculando
:
Passo 5
Calculando
:
Passo 6
Agora, comparamos as duas derivadas:
Claramente,
a menos que
, o que não é geral. Portanto, a equação não é exata.
Resposta
A equação diferencial
não é exata.
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Use o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral da equação diferencial dada.
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