Verifique se equações diferenciais seguintes são exatas, e resolve as que o forem

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a equação diferencial é exata e, se for, resolver. Vamos usar conceitos de equações diferenciais e verificar a exatidão usando derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial exata. Uma equação da forma é exata se a derivada de em relação a for igual à derivada de em relação a , ou seja:
Isso significa que existe uma função potencial tal que:

Passo 3

Vamos identificar e na nossa equação:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 4

Calculando :

Passo 5

Calculando :

Passo 6

Agora, comparamos as duas derivadas:
Claramente, a menos que , o que não é geral. Portanto, a equação não é exata.

Resposta

A equação diferencial não é exata.

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Use o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral da equação diferencial dada. .
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