Verifique se equações diferenciais seguintes são exatas, e resolve as que o forem

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a equação diferencial dada é exata e, se for, resolver ela. Estamos lidando com equações diferenciais exatas, que fazem parte do estudo de cálculo diferencial. Para resolver, vamos precisar saber como identificar se uma equação é exata e, caso positiva, encontrar uma função que satisfaça a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e da equação diferencial, que tem a forma geral:
No nosso caso:
Para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e de em relação a e ver se são iguais.

Passo 3

Vamos calcular :
Agora, vamos calcular :
Percebemos que:
Isso significa que a equação é exata!

Passo 4

Como a equação é exata, existe uma função tal que:
Para encontrar , vamos integrar em relação a :
Como é tratado como constante na integração em relação a , temos:
Calculando as integrais:
Portanto:
Simplificando:
Onde é uma função de que ainda precisamos determinar.

Passo 5

Para encontrar , vamos derivar em relação a e igualar a :
Igualando as duas expressões:
Isolando :
Perceba que há um termo que depende de , mas deveria depender somente de . Isso indica que houve um erro na integração anterior. Vamos revisar o passo 4.

Passo 6

Na verdade, ao integrar em relação a , deveríamos ter:
Simplificando:
Agora, derivando em relação a :
Então:
Integrando em relação a :
Portanto, a função potencial é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante.

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Use o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral da equação diferencial dada. .