Verifique se equações diferenciais seguintes são exatas, e resolve as que o forem
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a equação diferencial dada é exata e, se for, resolver ela. Estamos lidando com equações diferenciais exatas, que fazem parte do estudo de cálculo diferencial. Para resolver, vamos precisar saber como identificar se uma equação é exata e, caso positiva, encontrar uma função que satisfaça a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
da equação diferencial, que tem a forma geral:
No nosso caso:
Para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
e ver se são iguais.
Passo 3
Vamos calcular
:
Agora, vamos calcular
:
Percebemos que:
Isso significa que a equação é exata!
Passo 4
Como a equação é exata, existe uma função
tal que:
Para encontrar
, vamos integrar
em relação a
:
Como
é tratado como constante na integração em relação a
, temos:
Calculando as integrais:
Portanto:
Simplificando:
Onde
é uma função de
que ainda precisamos determinar.
Passo 5
Para encontrar
, vamos derivar
em relação a
e igualar a
:
Igualando as duas expressões:
Isolando
:
Perceba que há um termo
que depende de
, mas
deveria depender somente de
. Isso indica que houve um erro na integração anterior. Vamos revisar o passo 4.
Passo 6
Na verdade, ao integrar
em relação a
, deveríamos ter:
Simplificando:
Agora, derivando
em relação a
:
Então:
Integrando
em relação a
:
Portanto, a função potencial é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante.
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