Utilizando a aproximação por frações continuadas, calcule o valor da função f(x)=ln (x) para n=10 considerando que:
& a1=2 z, ai=-(i-1)^2 z^2 e & b0=0, bi=(2 i-1) para i=2,3, ldots, n, onde z=(x-1x+1)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a função usando uma aproximação por frações continuadas com . Para isso, vamos utilizar as fórmulas fornecidas para os coeficientes e , onde . Vamos precisar entender como construir a fração continuada e aplicar essas fórmulas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes necessários para a fração continuada. Temos:
a1 = 2z
ai = - (i - 1)^2 z^2 e para i = 2, 3, ldots, n
b0 = 0
bi = 2i - 1 para i = 2, 3, ldots, n
onde .

Passo 3

Vamos calcular z = (x - 1x + 1) para um valor específico de . Como o exercício não especifica o valor de , assumiremos que é dado ou que o objetivo é expressar em termos de . Portanto:

Passo 4

Agora, vamos construir a fração continuada usando os coeficientes ln(x) approx a1b1 + a2b2 + a3b3 + ddots + a10b10 e ln(x) approx 2z1 + -1^2 z^2 e3 + -2^2 z^2 e5 + ddots + -9^2 z^2 e19 . A fração continuada para até termos fica:
Substituindo os valores de e :

Passo 5

Para calcular o valor aproximado de , precisamos computar a fração continuada passo a passo, começando pelo último termo e trabalhando de trás para frente. Isso significa iniciar com e , e assim por diante até e .

Passo 6

Após calcular cada nível da fração continuada, teremos uma aproximação para com termos. Esse método melhora a precisão da aproximação à medida que adicionamos mais termos.

Resposta

A aproximação de ln(x) approx 2z1 + -z^2 e3 + -4 z^2 e5 + -9 z^2 e7 + ddots + -81 z^2 e19 utilizando frações continuadas com termos é dada por:
onde .

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