Use a mudança de coordenadas e calcule a integral dupla
sobre a região do plano delimitada pelas curvas
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral de sobre a região delimitada por algumas curvas no plano . Para facilitar, vamos usar uma mudança de coordenadas onde e . Isso faz parte do tema de integrais em coordenadas diferentes, que nos ajuda a simplificar a região de integração e a própria integral.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como fica a região nas novas coordenadas e . As curvas que delimitam são:
→ isso se transforma em .
→ isso se transforma em .
→ como é positivo, isso vira ou . Mas como também está presente, vamos considerar .
permanece como está.
Então, na nova coordenação, varia de 1 a 2. Para , que é , precisamos ver entre quais valores ele varia dentro dessas curvas. Observando e , para um determinado , varia de até .
Passo 3
Agora, precisamos calcular o Jacobiano da transformação. O Jacobiano é uma maneira de ajustar a área quando mudamos de coordenadas. Temos:
Calculamos as derivadas parciais:
O Jacobiano é então:
Passo 4
Com isso, a integral original se transforma em:
integral duplaD (x^2 + 2y^2) , dx , dy = integralu=1^2 integralv=u2^v=raizu (x^2 + 2y^2) cdot 1v , dv , du
No entanto, precisamos expressar x^2 = ( uv )^2 = u^2v^2 y^2 = v^2 em função de integral duplaD ( u^2v^2 + 2v^2 ) cdot 1v , dv , du = integral1^2 integralu2^raizu ( u^2v^3 + 2v^2v ) dv , du = integral1^2 integralu2^raizu ( u^2v^3 + 2v ) dv , du e . Sabemos que e , então .
Substituindo na expressão:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos agora integrar em relação a integralu2^raizu u^2v^3 , dv = u^2 cdot [ -12v^2 ]u2^raizu = u^2 ( -12u + 2^22u^2 ) = u^2 ( -12u + 2u^2 ) = -u2 + 2u^0 = -u2 + 2 :
integralu2^raizu 2v , dv = 2 cdot [ v^22 ]u2^raizu = [ v^2 ]u2^raizu = u - ( u2 )^2 = u - u^24
-u2 + 2 + u - u^24 = u2 + 2 - u^24
Somando as duas partes:
Passo 6
Agora, integramos o resultado em relação a integral1^2 ( u2 + 2 - u^24 ) du = 12 cdot u^22 g|1^2 + 2u g|1^2 - 14 cdot u^33 g|1^2 de 1 a 2: