Use a mudança de coordenadas u=x y, y=v e calcule a integral dupla
integral duplaD(x^2+2 y^2) d x d y
sobre a região D do plano x y delimitada pelas curvas
x y=1, x y=2, y=|x| e y=2 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral de sobre a região delimitada por algumas curvas no plano . Para facilitar, vamos usar uma mudança de coordenadas onde e . Isso faz parte do tema de integrais em coordenadas diferentes, que nos ajuda a simplificar a região de integração e a própria integral.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como fica a região nas novas coordenadas e . As curvas que delimitam são:
  1. → isso se transforma em .
  2. → isso se transforma em .
  3. → como é positivo, isso vira ou . Mas como também está presente, vamos considerar .
  4. permanece como está.
Então, na nova coordenação, varia de 1 a 2. Para , que é , precisamos ver entre quais valores ele varia dentro dessas curvas. Observando e , para um determinado , varia de até .

Passo 3

Agora, precisamos calcular o Jacobiano da transformação. O Jacobiano é uma maneira de ajustar a área quando mudamos de coordenadas. Temos:
u = xy v = y
Calculamos as derivadas parciais:
partial upartial x = y partial upartial y = x partial vpartial x = 0 partial vpartial y = 1
O Jacobiano J = y & x 0 & 1 = y cdot 1 - x cdot 0 = y = v é então:

Passo 4

Com isso, a integral original se transforma em:
integral duplaD (x^2 + 2y^2) , dx , dy = integralu=1^2 integralv=u2^v=raizu (x^2 + 2y^2) cdot 1v , dv , du
No entanto, precisamos expressar x^2 = ( uv )^2 = u^2v^2 y^2 = v^2 em função de integral duplaD ( u^2v^2 + 2v^2 ) cdot 1v , dv , du = integral1^2 integralu2^raizu ( u^2v^3 + 2v^2v ) dv , du = integral1^2 integralu2^raizu ( u^2v^3 + 2v ) dv , du e . Sabemos que e , então .
Substituindo na expressão:
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos agora integrar em relação a integralu2^raizu u^2v^3 , dv = u^2 cdot [ -12v^2 ]u2^raizu = u^2 ( -12u + 2^22u^2 ) = u^2 ( -12u + 2u^2 ) = -u2 + 2u^0 = -u2 + 2 :
integralu2^raizu 2v , dv = 2 cdot [ v^22 ]u2^raizu = [ v^2 ]u2^raizu = u - ( u2 )^2 = u - u^24
-u2 + 2 + u - u^24 = u2 + 2 - u^24
Somando as duas partes:

Passo 6

Agora, integramos o resultado em relação a integral1^2 ( u2 + 2 - u^24 ) du = 12 cdot u^22 g|1^2 + 2u g|1^2 - 14 cdot u^33 g|1^2 de 1 a 2:
14 (2^2 - 1^2) = 14 (4 - 1) = 34
Calculando cada parte:
2(2 - 1) = 2
-112 (8 - 1) = -712
34 + 2 - 712 = 912 + 2412 - 712 = 2612 = 136
Somando tudo:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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